Devoir n° 31 1e S

1) Calculer les fonctions dérivées de :

 

$f\ :\ x\mapsto(3x+2)^{2}(x-4)^{3}$

 

$g\ :\ x\mapsto\dfrac{(2x+3)^{2}}{x^{2}-5}$

 

$h\ :\ x\mapsto(4x^{2}-1)\sqrt{4x^{2}-1}$

 

On précisera l'ensemble de dérivabilité de chaque fonction.

 

2) Soient les fonctions $f\;,\ g\text{ et }h$ définies par :

$$f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}\;;\ g(x)=\sqrt{x+|x|}\;;\ h(x)=(f\circ g)(x)$$

 

Donner les ensembles de dérivabilité de $f\;,\ g\text{ et }h$ , puis calculer leurs fonctions dérivées.

1) Déterminer $a\text{ et }b$ pour que la fonction $f$ définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&ax+b&\text{si }x\leq 3\\ \\ f(x)&=&\dfrac{\sqrt{2x+3}-3}{x-3}&\text{si }>3 \end{array}\right.$$

 

soit continue et dérivable en $x_{0}=3.$

 

2) Déterminer $m$ pour que la fonction $g$ définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{llll} \text{si }x\leq 0\;,&g(x)&=&x^{3}+x^{2}+(m^{2}-2)x+2\\ \\ \text{si }x>0\;,&g(x)&=&\dfrac{x+2m}{x+1} \end{array}\right.$$

 

soit dérivable sur $\mathbb{R}.$

1) $f\text{ et }g$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I\text{ de }\mathbb{R}$ et on suppose que $g(x)\neq 0$, pour tout $x$ réel. 

 

Soit $h$ la fonction définie par : $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$

 

Montrer que si $h'(a)=0\text{ et }g'(a)\neq 0\;,\text{ alors }h(a)=\dfrac{f'(a)}{g'(a)}$

 

2) $Application$ :

 

On prend $h(x)=\dfrac{2^{3}-x^{2}+1}{x^{2}-1}.$

 

a) Calculer $h'(x)$ et vérifier que $h'(x)$ s'annule en trois points $a\;,\ b\text{ et }c.$

 

b) Utiliser les résultats précédents pour calculer le plus simplement possible $h(a)\;,\ h(b)\text{ et }h(c).$

Soit $P(x)$ un polynôme et a un réel.

 

1) Montrer que si $P(x)$ est divisible par $(x-a)^{2}$, alors $P'(x)$ est divisible par $(x-a)$

 

Écrire $P(x)$ sous la forme $P(x)=(x-a)^{2}Q(x).$

 

2) Montrer que si $P(x)\text{ et }P'(x)$ sont divisibles par $(x-a)$, alors $P(x)$ est divisible par $(x-a)^{2}.$

 

En déduire l'équivalence :

 

$P(x)$ est divisible par $(x-a)^{2}\Longleftrightarrow P(x)\text{ et }P'(x)$ sont divisibles par $(x-a).$

 

3) $Application$ :

 

$A_{1}$ : Montrer que $P_{1}(x)=x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+20x+12$ est factorisable par $(x-2)^{2}.$

 

Calculer le quotient.

 

$A_{2}$ : Soit $n$ un entier naturel non nul.

 

Montrer que le polynôme $P_{2}(x)=nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1$ est factorisable par $(x-1)^{2}.$ Calculer le quotient lorsque $n=4.$