Devoir n° 33 1e S
Classe:
Première
Exercice 1
Soit ABCD un trapèze convexe.
Les côtés non parallèles (AD) et (BC) se coupent en I et les diagonales (AC) et (BD) se coupent en J.
1) On pose →IA=k→ID et →JA=k′→JC.
Démontrer que :
→AB=k→DC et →AB=k′→CD.
Comparer k et k′.
2) La droite (IJ) coupe (AB) en E et (DC) en F.
Démontrer que : ¯IE¯IF=−¯JE¯JF
Exercice 2
Étant donné un parallélogramme ABCD, on construit les points P, Q et R définis par :
→AP=23→AB, →AR=34→AD et Q est tel que PARQ est un parallélogramme.
Le but de l'exercice est de démontrer que les droites (BR), (CQ) et (DP) sont concourantes.
1) Faire une figure soignée.
2) a) Trouver deux réels x1 et x2 tels que P soit le barycentre de (A, x1)(B, x2).
b) Trouver deux réels y1 et y2 tels que R soit le barycentre de (A, y1)(B, y2).
c) Montrer que (BR) et (DP) sont sécantes en I barycentre de (A, 1)(B, 2)(D, 3).
3) a) Prouver que Q est le barycentre de (A, −5)(B, 8)(D, 9).
b) En déduire que Q est le milieu de [IC) puis l'alignement de I, C, Q.
4) Conclure en prouvant que (BR), (CQ) et (DP) sont concourantes.
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, on demande :
− de déterminer le domaine de définition de g∘f.
− de calculer (g∘f)(x).
1)f : R→Rx↦x2etg : R→Rx↦√1−x
2)f : ]−∞; 4]→Rx↦√4−xetg : R→Rx↦√9−x2
3)f : R→Rx↦x+3etg : R→Rx↦√x
Exercice 4
Dire si chacune des applications suivantes est injective, surjective ou bijective.
f1 : [0; 1]→[2; 5]x↦3x+2
f2 : ]0; 1]→Rx↦3x+2
f3 : R+→Rx↦x2
f4 : R→Rx↦x2
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