Devoir n° 33 1e S

 

Soit $ABCD$ un trapèze convexe. 

 

Les côtés non parallèles $(AD)\text{ et }(BC)$ se coupent en $I$ et les diagonales $(AC)\text{ et }(BD)$ se coupent en $J.$

 

1) On pose $\overrightarrow{IA}=k\overrightarrow{ID}\text{ et }\overrightarrow{JA}=k'\overrightarrow{JC}.$

 

Démontrer que : 

 

$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{DC}\text{ et }\overrightarrow{AB}=k'\overrightarrow{CD}.$ 

 

Comparer $k\text{ et }k'.$

 

2) La droite $(IJ)\text{ coupe }(AB)\text{ en }E\text{ et }(DC)\text{ en }F.$

 

Démontrer que : $$\dfrac{\overline{IE}}{\overline{IF}}=-\dfrac{\overline{JE}}{\overline{JF}}$$

Étant donné un parallélogramme $ABCD$, on construit les points $P\;,\ Q\text{ et }R$ définis par :

 

$\overrightarrow{AP}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AR}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\text{ et }Q$ est tel que $PARQ$ est un parallélogramme.

 

Le but de l'exercice est de démontrer que les droites $(BR)\;,\ (CQ)\text{ et }(DP)$ sont concourantes.

 

1) Faire une figure soignée.

 

2) a) Trouver deux réels $x_{1}\text{ et }x_{2}$ tels que $P$ soit le barycentre de ${(A\;,\ x_{1})(B\;,\ x_{2})}.$

 

b) Trouver deux réels $y_{1}\text{ et }y_{2}$ tels que $R$ soit le barycentre de ${(A\;,\ y_{1})(B\;,\ y_{2})}.$

 

c) Montrer que $(BR)\text{ et }(DP)$ sont sécantes en $I$ barycentre de ${(A\;,\ 1)(B\;,\ 2)(D\;,\ 3)}.$

 

3) a) Prouver que $Q$ est le barycentre de ${(A\;,\ -5)( B\;,\ 8)(D\;,\ 9)}.$

 

b) En déduire que $Q$ est le milieu de $[IC)$ puis l'alignement de $I\;,\ C\;,\ Q.$

 

4) Conclure en prouvant que $(BR)\;,\ (CQ)\text{ et }(DP)$ sont concourantes.

Dans chacun des cas suivants, on demande :

 

$-\ $ de déterminer le domaine de définition de $g\circ f.$

 

$-\ $ de calculer $(g\circ f)(x).$

 

$1)\quad\begin{array}{rcl} f\ :\ \mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{R}\\ x &\mapsto &x^{2} \end{array}\quad\text{et}\quad\begin{array}{rcl} g\ :\ \mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{R}\\ x &\mapsto &\sqrt{1-x} \end{array}$

 

$2)\quad\begin{array}{rcl} f\ :\ ]-\infty\;;\ 4] &\rightarrow &\mathbb{R}\\ x &\mapsto &\sqrt{4-x} \end{array}\quad\text{et}\quad\begin{array}{rcl} g\ :\ \mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{R}\\ x &\mapsto &\sqrt{9-x^{2}} \end{array}$

 

$3)\quad\begin{array}{rcl} f\ :\ \mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{R}\\ x &\mapsto &x+3 \end{array}\quad\text{et}\quad\begin{array}{rcl} g\ :\ \mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{R}\\ x &\mapsto &\sqrt{x} \end{array}$

Dire si chacune des applications suivantes est injective, surjective ou bijective.

 

\begin{eqnarray} f_{1}\ :\ [0\;;\ 1] &\rightarrow &[2\;;\ 5]\nonumber\\ x &\mapsto & 3 x+2\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} f_{2}\ :\ ]0\;;\ 1] &\rightarrow &\mathbb{R}\nonumber\\ x &\mapsto & 3 x+2\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} f_{3}\ :\ \mathbb{R^{+}} &\rightarrow &\mathbb{R}\nonumber\\ x &\mapsto &x^{2}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} f_{4}\ :\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}\nonumber\\ x &\mapsto &x^{2}\nonumber \end{eqnarray}