Devoir n° 35 - 2nd S

 

Soit $\theta(x)=x^{3}-2x^{2}+ax+b$

 

1) Exprimer $\theta(-1)\ $ et $\ \theta(2)$ en fonction de $a\ $ et $\ b$

 

2) Trouver alors $a\ $ et $\ b$ pour que $-1\ $ et $\ 2$ soient des racines de $\theta(x).$

 

Dans la suite on prend $a=-1\ $ et $\ b=2.$ 

 

Donc $\theta(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2$

 

3) Calculer $\theta(-1)$ et factoriser complètement $\theta(x).$

 

4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\theta(x)=0$ et dresser le tableau de signe de $\theta(x)$

 

5) Soit $h(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+5}{x-1}$

 

a) Étudier l'existence de $h(x)$

 

b) Simplifier $h(x)$

 

c) Trouver les réels $\alpha\;,\ \beta\ $  et $\ \gamma$ tel que

$$h(x)=\alpha x+\beta+\dfrac{\gamma}{x-1}$$

 

1) Sur un cercle trigonométrique représenter : 

$$\dfrac{-3\pi}{2}\;,\ \dfrac{17\pi}{4}\;,\ \dfrac{213\pi}{3}\;,\ \dfrac{49\pi}{2}$$

2) Résoudre dans $[-\pi\;;\ \pi]$ : 

 

a) $2\sin x+1=0$

 

b) $3\sin x(\sin x-1)=0$

 

3) Résoudre l'équation ci-dessous :

 

a) $2\cos^{2} x+9\cos x+4=0$

 

b) $\sin^{2} x-2\sin x+1=0$

 

4) Montrer les inégalités suivantes :

 

a)$(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2}=2$

 

b) $(\cos x+\sin x)^{2}=1+2\sin x cos x$

 

5) Simplifier l'expression suivante :

$$X=\sin(\pi+x)+\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}-x \right)+\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin(\pi-x)$$

 

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(o\;;\ \vec{i}\;;\ \vec{j})$ on considère le point $A(-2\;;\ -3)$ et la droite $\Delta$ passant par le point $B(0\;;\ 5)$ dont un vecteur directeur est $\vec{u}(-3\;;\ 5)$

 

1) Montrer que le point $C\left(2\;;\ \dfrac{5}{3}\right)$ appartient à la droite $(\Delta).$

 

2) Déterminer les coordonnées de $E$ point d'intersection avec l'axe des abscisses.

 

3) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ puis le système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta).$

 

4) Soit $(L)$ la droite admettant $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&t+3\\y&=&4t\end{array}\right.$ comme système d'équations paramétriques

 

a) Tracer la droite $(L)$

 

b) Prouver que $E$ appartient à $(L).$

 

Que peut dire $(L)\ $ et $\ (AB).$

 

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$$\text{Durée : 2h 30}$$