Devoir n° 36 1e S

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD de côté a tel que mes(→AB, →AC)=π3
 
Le point A′ tel que le triangle ADA′ soit isocèle rectangle en D avec mes(→DA′, →DA)=π2
 
Soit I le point d'intersection des droites (AA′) et (BD) et O le milieu de [AA′].
 
1) Faire la figure en prenant AB=a=4cm.
 
2) Soit h l'homothétie de centre I qui transforme A en A′.
 
a) Construire en justifiant l'image C′ du point C par h.
 
b) Montrer que la droite (BD) est la médiatrice de [A′C′].
 
c) En déduire la nature du quadrilatère ACC′A′.
 
d) Comparer les distances DC et DC′ puis les mesures des angles orientés
(→DA′, →DA) et (→DC, →DC′)
3) Soit R la rotation de centre O et d'angle π2.
 
On admettra que mes(→OA, →OD)=π2.
 
a) Déterminer les images de A et D par R.
 
b) Montrer que l'image de B par R est le point C′ défini en 2) a)
 
c) Comparer les longueurs A′C′ et BD.
 
4) a) Exprimer les longueurs AC et BD en fonction de a.
 
b) Déterminer le rapport k de l'homothétie h.

Exercice 2

1) ABC est un triangle équilatéral de centre O et de sens direct.
 
Déterminer chacune des transformations suivantes :
 
a) f=r(B, π3)∘r(C, π3)
 
b) g=t→BC∘r(B, π3)
 
c) h=s(AB)∘s(AC)
 
d) f=r(B, π3)∘r−1(A, π3)
 
2) Soit f l'application qui à tout point M(x, y) associe le point M′(x′, y′) du plan telle que : 
{x′=√22x+√22y+1y′=−√22x+√22y+√2−1
 
a) Montrer que f es tune bijection puis exprimer f−1.
 
b) Montrer que f est tune isométrie du plan.
 
c) Déterminer les points invariants par f. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.
 

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