Devoir n° 36 1e S

 

Dans le plan orienté, on considère un losange $ABCD$ de côté $a$ tel que $$mes\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{3}$$

 

Le point $A'$ tel que le triangle $ADA'$ soit isocèle rectangle en $D$ avec $$mes\left(\overrightarrow{DA'}\;,\ \overrightarrow{DA}\right)=\dfrac{\pi}{2}$$

 

Soit $I$ le point d'intersection des droites $(AA')\text{ et }(BD)\text{ et }O$ le milieu de $[AA'].$

 

1) Faire la figure en prenant $AB=a=4\;cm.$

 

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $I$ qui transforme $A\text{ en }A'.$

 

a) Construire en justifiant l'image $C'$ du point $C\text{ par }h.$

 

b) Montrer que la droite $(BD)$ est la médiatrice de $[A'C'].$

 

c) En déduire la nature du quadrilatère $ACC'A'.$

 

d) Comparer les distances $DC\text{ et }DC'$ puis les mesures des angles orientés
$$\left(\overrightarrow{DA'}\;,\ \overrightarrow{DA}\right)\text{ et }\left(\overrightarrow{DC}\;,\ \overrightarrow{DC'}\right)$$

3) Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$

 

On admettra que $mes\left(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{\pi}{2}.$

 

a) Déterminer les images de $A\text{ et }D\text{ par }R.$

 

b) Montrer que l'image de $B$ par $R$ est le point $C'$ défini en 2) a)

 

c) Comparer les longueurs $A'C'\text{ et }BD.$

 

4) a) Exprimer les longueurs $AC\text{ et }BD$ en fonction de $a.$

 

b) Déterminer le rapport $k$ de l'homothétie $h.$

1) $ABC$ est un triangle équilatéral de centre $O$ et de sens direct.

 

Déterminer chacune des transformations suivantes :

 

a) $f=r\left(B\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\circ r\left(C\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$

 

b) $g=t_{\overrightarrow{BC}}\circ r\left(B\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$

 

c) $h=s_{(AB)}\circ s_{(AC)}$

 

d) $f=r\left(B\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\circ r^{-1}\left(A\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$

 

2) Soit $f$ l'application qui à tout point $M(x\;,\ y)$ associe le point $M'(x'\;,\ y')$ du plan telle que : 

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y+1\\ \\ y' &=&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y+\sqrt{2}-1 \end{array}\right.$$

 

a) Montrer que $f$ es tune bijection puis exprimer $f^{-1}.$

 

b) Montrer que $f$ est tune isométrie du plan.

 

c) Déterminer les points invariants par $f.$ En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f.$