Devoir n° 36 - 2nd S

 

1) Prouver que :

$$\forall\;x\in\mathbb{R}\;;\ \cos^{4} x+\sin^{4} x+2\cos^{2} x \sin^{2} x=1$$

2) Simplifier l'expression suivante :

$$Y=\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-2\pi+x\right)-3\sin(-\pi-x)+\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}-x\right)+5\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)$$

3) $x$ est un réel de l'intervalle $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

 

a) Montrer l'égalité :

$$1+(\tan x)^{2}=\dfrac{1}{(\cos x)^{2}}$$

On donne $\tan x=\dfrac{1}{2}$

 

b) Calculer les valeurs exactes de $\cos x\ $ et $\ \sin x$

 

On donne :

$$A(x)=-4x^{4}+20x^{2}-16\quad\text{et}\quad B(x)=-2x^{3}+5x^{2}-x-2$$

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $A(x)=0$

 

b) Factoriser $A(x)$

 

c) résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $A(x)\geq 0$

 

2. a) Vérifier que $2$ est une racine de $B$

 

b) Montrer que $B(x)=(x-2)(-2x^{2}+x+1)$

 

c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $B(x)\geq 0$

 

Soit $f\ $ et $\ g$ deux fonctions définies par :

$$f(x)=\dfrac{x^{2}-3x+6}{x-1}\quad\text{et}\quad g(x)=x^{2}+8x+4$$

1. a) Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$

 

b) En déduire que le point $I(1\;,\ -1)$ est centre de symétrie de $(C_{f})$

 

2. a) Étudier le sens de variation de $g$ sur $]-\infty\;,\ -4]$ puis sur $[-4\;,\ +\infty[$ et dresser son tableau de variation.

 

b) Montrer que $g$ admet un minimum en $-4$ et déterminer ce minimum.

 

c) Montrer que la droite $(\Delta) : x=-4$ est l'axe de symétrie à la courbe de $g.$

 

d) Tracer le graphe de $g$ puis résoudre graphiquement $f(x)\geq 1$

 

 

 

$$\text{Durée : 2h 30}$$