Devoir n° 37 - 2nd S

 

Le plan muni d'un repère $(0\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, à tout réel $m$ on associe la droite $(D_{m})$ d'équation :

 

$(D_{1}) : \left\lbrace\begin{array}{rcl}  x&=&2-3t\\y&=&3+2t\end{array}\right.\;,\ (t\in \mathbb{R})$

 

$(D_{2}) : -3x+2y=0$

 

$(D_{3}) : \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&-1+t'\\y&=&5+2t'\end{array}\right.\;,\ (t'\in \mathbb{R})$

 

1) Le point $A(-4\;;\ 7)$ appartient-il à $(D_{1})\ ?$ appartient-il à $(D2)\ ?$

 

2) Justifier que $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ sont perpendiculaires.

 

3) Déterminer les coordonnées de leur d'intersection.

 

4) Déterminer les coordonnées de $I$ point d'intersection de $(D_{3})$ avec l'axe des abscisses.

 

5) Étudier la position relation relative de $(D_{1})\ $ et $\ (D_{3})$, lorsqu'elles sont sécantes préciser leur point d'intersection ?

 

On considère le polynôme

$$g(x)=6x^{3}-x^{2}-32x+20$$

1) Calculer $g(2)$ et factoriser complètement $g(x)$

 

On pose

$$f(x)=\dfrac{6x^{3}-x^{2}-32x+20}{9x^{2}-4}$$

2) Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe

 

3) Simplifier $f(x)$

 

4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$ et dresser le tableau de signe de $f(x)$

 

1) Donner la mesure principale des angles suivants :

$$\dfrac{13\pi}{6}\;,\ \dfrac{-7\pi}{4}\;,\ \dfrac{213\pi}{3}\;,\ \dfrac{749\pi}{13}$$

2) Résoudre dans $[-\pi\;;\ \pi]\ :$ 

 

a) $2\sin x+1=0$

 

b) $\sin^{2} x=\sin x$

 

c) $4\cos^{2} x=1$

 

3) Montrer les égalités suivantes :

 

a) $(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2}=2$

 

b) $\cos^{4} x+\sin^{4} x=\cos^{2} x-\sin^{2}x$

 

c) $\tan^{2} x-\sin^{2} x=\tan^{2} x.\sin^{2}\ \text {si } \cos x\neq 0$

 

4) Simplifier les expressions suivantes :

 

a) $X=\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-2\pi+x\right)-\sin (-\pi-x)+\cos \left(-\dfrac{\pi}{2}-x\right)+5\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)$

 

b) $Y=-4\sin(\pi+x)+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin(7\pi-x)$

 

 

$$\text{Durée : 2h}$$