Devoir n° 5 - TL

 

1) Résoudre dans $\mathbb{R^{4}}$ le système suivant $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y&=&-4\\ xy&=&-45\end{array}\right.$$

 

2) Vérifier que $(x+2)+(y-1)=x+y+1$

 

3) Utiliser les résultats des questions 1) et 2) pour résoudre dans $\mathbb{R^{2}}$ le système $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y+1&=&-4\\ (x+y)(y-1)&=&-45\end{array}\right. $$

Soit $P(x)=x^{3}-4x^{2}-7x+k$

 

1) Déterminer le réel $k$ pour que $1$ soit une racine de $P.$

 

En déduire une factorisation de $P(x)$

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\dfrac{x^{3}-14x^{2}-7x}{x^{2}+1}=-10$

 

3) Soit $F$ la fonction rationnelle définie par : $F(x)=\dfrac{P(x)}{-2x^{2}-x+6}$

 

a) Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $F$, puis simplifier $F(x)$ dans $D_{f}$

 

b) Résoudre dans $D_{f}$ l'équation $F(x)=0$ et l'inéquation $F(x)\geq 0$

Calculer les limites suivantes :

 

1) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{-x^{3}+5x^{2}-3}{-x^{2}-x+6}$ ;

 

2) $\lim_{x\rightarrow -4}\dfrac{7x-3}{x^{2}+x-12}$ ;

 

3) $\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{3}-5x+6}{-x^{2}-x+6}$ ;

 

4) $\lim_{x\rightarrow -2}\dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x+2}$

 

$$\text{Durée 2h}$$