Devoir n° 5 - Ts1

 

$$\begin{array}{|ccccc|}\hline N^{\circ }& \text{Questions}& \text{Réponse A}& \text{Réponse B}& \text{Réponse C}\\ 1& \text{Le nombre réel }Z=2-{\displaystyle \frac{5}{3}}\mathrm{i}& -2-{\displaystyle \frac{5}{3}}\mathrm{i}& 2+{\displaystyle \frac{5}{3}}\mathrm{i}& -2+{\displaystyle \frac{5}{3}}\mathrm{i}\\ & \text{a pour conjugué}& & & \\ 2& \text{La somme d'un complexe }Z& \text{Réel pur}& \text{Imaginaire pur}& \text{nul}\\ & \text{et de son conjugué est un nombre}& & & \\ 3& \text{Si }f\text{ est une fonction décroissante}& \text{Constante }N\text{ sur}& \text{Décroissante sur }R& \text{Décroissante sur }N\\ & \text{sur }\mathbb{R}\text{ alors la suite }\left(U_n\right)\text{ définie}& & & \\ & \text{par }{U}_n=f(n)\text{ est :}& & & \\ 4& \text{La suite géométrique }\left(U_n\right)& \text{négative}& \text{Convergente}& \text{divergente}\\ & \text{de raison }q=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ est :}& & & \\ 5& \text{Si deux événement }A\text{ et }B\text{ sont}& & & \\ & \text{incompatibles dans un univers }\omega & 1& p(A)+1& p(A\cup B)\\ & \text{alors }p(A)+p(B)\text{ est égale à}& & & \\ \hline\end{array}$$

Soit la suite $\left(U_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{0}=4\text{ et }U_{n+1}=\sqrt{U_{n}}$

 

1) Démontrer par récurrence que $\forall\;n\in\mathbb{N}\ ;\ U_{n}\geq 1$

 

2) a) Vérifier que $\forall\;n\in\mathbb{N}\ ;\ U_{n+1}=\dfrac{U_{n}-1}{\sqrt{U_{n}}+1}$

 

b) En déduire que $\forall\text{ tout }n\in\mathbb{N}\ ;\ U_{n}$

 

3) a) Démontrer par récurrence que pour entier naturel $n$ on a $\left|U_{n}-1\right|\leq\dfrac{3}{2^{n}}$

 

b) Conclure à propos de la convergence de la suite $\left(U_{n}\right)$

1) $n$ est un entier naturel.

 

a) Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de $n^{4}$ par $5$ ?

 

b) Démontrer que $n^{5}-5$ est divisible par $5.$

 

2) On pose pour $n$ un entier relatif non nul : 

$$A={\displaystyle \frac{(2n-1)(2n^2+3n-1)}{n+2}}$$

  

a) Déterminer l'ensemble des entiers relatifs $n$ tel que $(n+2)$ divise $(2n-1)$

 

b) Sachant que $n+2$ et $2n^{2}+3n+1$ n'ont aucun diviseur commun, déduire de la question 2) a) les entiers relatifs $n$ pour lesquels $A$ est un entier relatif.

On se propose de résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)\ :\ Z^{2}-6Z+12=0$ et de construire les images des solutions de $(E)$ dans le plan complexe.

 

1) a) Résoudre $(E).$ 

 

On note $U$ et $\overline{\upsilon}$ ses solutions avec $Im(U)˃0.$

 

1) b) Calculer le module et un argument de $U$

 

1) c) En déduire le module et un argument de $\overline{\upsilon}$

 

2) a) Écrire le nombre complexe $U-4$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.

 

2) b) Déterminer le module et un argument de $\dfrac{u}{u-4}.$ 

 

En déduire le module et un argument de $\dfrac{\overline{\upsilon}}{\overline{\upsilon}-4}.$

 

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ on note $A$, $B$, $C$, $M$ et $N$ d'affixes respectives $4$ ; $2$ ; $6$ ; $u$ et $\overline{\upsilon}.$

 

a) En interprétant géométriquement les résultats de la question 2), démontrer que les points  $O$, $A$, $M$ et $N$ sont sur un même cercle que l'on précisera.

 

b) Démontrer que les points $B$, $C$, $M$ et $N$ sont aussi sur un même cercle que l'on précisera.

 

c) Construire les deux cercles obtenus et placer les points $M$ et $N$

Un dé pipé dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ est tel que : 

 

$P(1)=0.1$ ; 

 

$P(2)=0.1$ ; 

 

$P(3)=0.15$ ; 

 

$P(4)=0.15$ ; 

 

$P(5)=0.2.$

 

1) Calculer $P(6).$

 

2) On lance le dé, calculer les probabilités des évènements :

 

$-\ $ A : "le numéro est pair" :

                                                    

$-\ $ B : "le numéro est supérieur ou égal à $4$" ;

 

$-\ $ C : "le numéro est supérieur ou égal à $2$" ;

 

3) Calculer de deux manière probabilité de l'évènement $A\cup B$ :

 

a) en précisant les éventualités qui constituent $A\cup B$

 

b) en utilisant une formule.

 

                                                               Durée $4\;h$