Devoir n° 54 - 1e S1

Soit $(U_{n})_{n}\geq 0$ la suite définie par :

 

$$\left\lbrace\begin{array}{lll} U_{0} &=& 1 \\ \\ U_{n+1} &=& 1+\dfrac{1}{U_{n}} \end{array}\right.$$

 

On considére l'équation $(E)$ : $x=1+\dfrac{1}{x}$

 

On désigne par $l_{1}$ et $l_{2}$ les solutions de $(E)$ avec $l_{1}<l_{2}.$(On ne demande pas de les calculer)

 

Soit $(V_{n})$ la suite définie par :

 

$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ V_{n}=\dfrac{U_{n}-l_{2}}{U_{n}-l_{1}}$

 

1) Montrer que $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{l_{1}}{l_{2}}$

 

2) En déduire que $\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ V_{n}=\left(\dfrac{l_{1}}{l_{2}}\right)^{n+1}\;\text{et}\ U_{n}=\dfrac{l_{1}^{n+2}-l_{2}^{n+2}}{l_{1}^{n+1}-l_{2}^{n+1}}$

 

3) Calculer $l_{1}$ et $l_{2}.$

 

En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}V_{n}\;\text{et}\ \lim_{n\rightarrow +\infty}U_{n}$

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{x^{3}-3x+6}{(x-1)^{2}}$

 

On note par $(Cf)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}$

 

1) Déterminer le domaine de définition $Df$ de $f.$

 

2) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $Df.$

 

En déduire l'équation de l'asymptote verticale.

 

3) a) Déterminer les réels $a\;,\ b$ et $c$ tels que :

 

$\forall\;x\in\;Df\;,\ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{(x-1)^{2}}$

 

b) En déduire que $(Cf)$ admet une asymptote oblique $(D)$ en $-\infty$ et en $+\infty$ dont on déterminera son équation.

 

c) Etudier les positions relatives de de $(Cf)$ par rapport à $(D).$

 

4) Montrer que $\forall\;x\in\mathbb{R}\setminus{1}\ ,\ f'(x)=\dfrac{(x-3)(x^{2}+3)}{(x-1)^{3}}$

 

5) Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.

 

6) a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ et que : $-3 \alpha<-2$

 

b) En déduire le signe de $f$

 

7) Tracer $(Cf)$ ( on précisera les points d'intersection de $(Cf)$ avec les axes du repère).

Soit $f$ la fonction définie par :

 

$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& \dfrac{x(x-2)}{x-1} &\text{si} &x<0 \\ \\ f(x) &=& x+\sqrt{|x^{2}-x|} &\text{si} &x\geq 0 \end{array}\right.$$

 

On note par $(Cf)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$

 

1) a) Déterminer le domaine de définition $Df$ de $f$ puis calculer les limites de $f$ aux bornes de $Df.$

 

b) Etudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en 0 et 1. Interpréter les résultats.

 

2) Calculer $f'(x)$ sur chaque intervalle où $f$ est dérivable.

 

3) Résoudre dans $]0\;;\ 1[$, l'inéquation $2\sqrt{x-x^{2}}+1-2x\leq 0$

 

En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]0^;;\ 1[$ puis étudier son signe sur les autres intervalles.

 

4) Dresser le tableau de variation de $f.$

 

5) a) Montrer que $(Cf)$ admet une asymptote oblique $(\Delta_{1})$ en $+\infty$

 

b) Etudier la positon relative de $(Cf)$ par rapport à $(\Delta_{1})$ sur $]1\;;\ +\infty$

 

6) a) Montrer que $(Cf)$ admet une asymptote oblique $(\Delta_{2})$ en $-\infty$

 

b) Etudier la positon relative de $(Cf)$ par rapport à $(\Delta_{2})$ sur $]-\infty\;;\ 0$

 

7) Construire $(Cf).$

 

8) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=]1\;;\ +\infty$

 

a) Montrer que $g$ est une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.

 

b) $g^{-1}$ la bijection réciproque de $g$ est-elle dérivable sur $J$ ? Calculer $(g^{-1})'(2)$

 

c) Expliciter $(g^{-1})(x)$ pour $x\in J$

 

d) Construire $(Cg^{-1})$ la courbe de $g^{-1}$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}$