Devoir n° 55 - 1e S1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sin2x+2\sin\;x$ On désigne par $(Cf)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}$

 

1) Déterminer $Df$ puis justifier le choix de l'intervalle $[0\;;\ \pi]$ comme l'intervalle d'étude.

 

2) Montrer que $f$ est dérivable sur $[0\;;\ \pi]$ et $\forall\;x\in [0\;;\ \pi]\;,\ f'(x)=4\left(\cos\;x-\dfrac{1}{2}\right)(\cos\;x+1)$

 

3) Dresser le tableau de variation de $f$ sur$[0\;;\ \pi]$

 

4) Construire $(Cf)$ sur $[-2\pi\;;\ 2\pi]$ (On précisera les tangentes horizontales)

1) Soient $\alpha\;,\ \beta$ et $\gamma$ trois réels tels que :

 

$\alpha+\beta+\gamma=\pi$ et $\alpha\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ ,\ \beta\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ ,\;\gamma\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;,\;k\in\mathbb{Z}$

 

Montrer que $$\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma$$

 

2) Résoudre dans $I$ les équations et inéquations suivantes :

 

a) $4\sin^{2}x+2(1-\sqrt{3})\cos\;x-4+\sqrt{3}>0\;,\ I=[0\;;\ 2\pi]$

 

b) $|\cos2x|=\dfrac{1}{2}\;,\ I=]-\pi\;;\ \pi]$ (on représentera les images des solutions sur un cercle

trigonométrique)

 

3) Soit $ABC$ un triangle quelconque. On suppose que $\sin2\hat{A}+\sin2\hat{B}+\sin2\hat{C}\neq 0$

 

Soit $O$ le barycentre du système $\left\lbrace(A\;,\ \sin2\hat{A})\;;(B\;,\ \sin2\hat{B})\;;\ (C\;,\ \sin2\hat{C})\right\rbrace$

 

Montrer alors que $O$ est aussi le barycentre du système :

 

$\left\lbrace(A\;,\ \tan\hat{B}+\tan\hat{C})\;;\ (B\;,\ \tan\hat{A}+\tan\hat{C})\;;\ (C\;,\ \tan\hat{A}+\tan\hat{B})\right\rbrace$

Soit $ABCDE$ un pentagone régulier inscrit dans un cercle trigonométrique.

 

1) En utilisant la relation $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\vec{O}$,

  

montrer que :

 

a) $1+2\left(\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}\right)=0$

 

b) $1+4\cos\dfrac{2\pi}{5}\cos\dfrac{4\pi}{5}=0$

 

2) En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{2\pi}{5}$ et $\cos\dfrac{4\pi}{5}$

Soient $(C)$ et $(C')$ deux cercles tangents extérieurement en un point $I.$

 

Une droite passant par $I$ recoupe $(C)$ en $A$ et $(C')$ en $B.$ Une autre droite passant par $I$ recoupe $(C)$ en $C$ et $(C')$ en $D.$

 

Montrer que les droites $(AC)$ et $(DB)$ sont parallèles.

Soient $ABC$ un triangle et $(C)$ le cercle circonscrit au triangle $ABC.$ Soit $M$ un point quelconque de $(C)$

 

On désigne par $I\;,\ J$ et $K$ les projetés orthogonaux de $M$ respectivement sur $(AB)\;,\ (AC)$ et $(BC).$

 

Montrer que les points $I\;,\ J$ et $K$ sont alignés.

 

NB : La droite contenant $I\;,\ J$ et $K$ est appelée la droite de Simson du point $M.$

Soient $(C)$ et $(C')$ deux cercles sécants en $S$ et $M.$

 

Une droite passant par $S$ recoupe $(C)$ en $B$ et $(C')$ en $C.$

 

Une autre droite passant par $S$ recoupe $(C)$ en $P$ et $(C')$ en $N.$

 

Les droites $(NC)$ et $(BP)$ se coupent en un point $A.$

 

Montrer que les points $M\;,\ A\;,\ B$ et $C$ sont cocycliques.