Devoir n° 6 - 2nd s

Soit $f(x)=|2x-4|-|x-1|$

 

1) Résoudre l'équation : $f(x)=0.$

 

2) Écrire $f(x)$ sans valeur absolue.

 

3) En déduire les solutions des équations :

 

a) $f(x)=3\quad$ b) $f(x)=x+1\quad$ c) $f(x)\leq x+4.$ 

1) Traduire la double inégalité : $2\leq x\leq 5$ à l'aide de la valeur absolue.

 

2) Trouver $a$ et $b$ tels que l'intervalle $[a\;;\ b]$ ait pour centre 5 et pour rayon 2.

 

3) Traduire l'inégalité $|x-7.3|\leq 0.001$ en langage de valeur approchée et d'incertitude.

1) a) Calculer $A=(2\sqrt{3}-3\sqrt{3})^{2}$ et $B=(5\sqrt{3}-3\sqrt{3})^{2}.$

 

b) En déduire une écriture simplifiée de $$C=\sqrt{30-12\sqrt{6}}\ \text{ et }\ D=\sqrt{120-30\sqrt{15}}$$

2) Montrer que $\dfrac{2\sqrt{3}-5}{2\sqrt{3}+5}+\dfrac{2\sqrt{3}+5}{2\sqrt{3}-5}$ est un nombre rationnel.

 

3) Soient $a$ et $b$ deux réels tels que que $a>b>1.$ On pose : $$A=\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\ \text{ et }\ B=\sqrt{b}-\sqrt{b-1}$$

a) Montrer que $A$ et $B$ sont tous positifs.

 

b) Comparer $\dfrac{1}{A}$ et $\dfrac{1}{B}$ (on pourra introduire les expressions conjuguées de $A$ et $B).$

 

c) En déduire une comparaison de $A$ et $B.$

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ sont quatre points du plan.

 

1) Construire le point $M$ tel que : $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}.$

 

2) Construire le point $N$ tel que : $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}.$

 

2) Démontrer que : $\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}.$

$EFGH$ est un parallélogramme de centre $O.$

 

1) Construire les points $S$ et $T$ tels que : $\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$ et $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OH}$

 

2) a) Prouver que : $\overrightarrow{OT}+\overrightarrow{OS}=\vec{0}$.

 

b) Qu'en déduit-on pour le point $O\;$ ?

 

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$