Devoir n° 6 - Ts1

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

Soit f une fonction deux fois dérivables sur [2 ; 3]
 
La courbe ci-dessous est celle de f (fonction dérivée de f).
 
 
Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse :
 
 1) f()<f(2)
 
 2) La courbe (Cf) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses
 
 3) |f(3)f(2)|10
 
 4) f réalise une bijection de [2, 3] sur f([2, 3])
 
Exercice 2
 
1) On veut former des nombres à cinq chiffres distincts avec les chiffres : 
 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 
a) Combien de nombres distincts peut-on ainsi former ?
 
b) Dénombrer les cas possibles si :
 
i. Le chiffre des unités est un nombre premier.
 
ii. Le nombre formé est pair.
 
iii. Le nombre formé comprend le chiffre 2.
 
Exercice 3
 
Déterminer les branches infinies de la courbe C des fonctions f telles que :
 
1) f(x)=x21x2+x7
 
2) f(x)=x2+x7x212x+1
 
3) f(x)=x3tanx
 
4) f(x)=xsinx
 
Exercice 4
 
Les deux questions de cet exercice sont totalement inde pendantes
 
1) On considère la fonction f de finie par :
{f(x)=xsin(1x);x>0f(0)=1f(x)=xE(1x);x<0
 
a) Étudier la continuité de f en 0.
 
b) Calculer lim|x|+f(x)
 
2) Soit f une fonction continue sur un segment [a ; b].
 
Montrer qu'il existe c[a ; b] tel que : 2f(a)+3f(b)=5f(c).
 
Exercice 5
 
A) Dans la figure ci-dessous :
 
 C est la courbe représentative dans un repère orthonormé d'une fonction f,
 
 Γ est la courbe de sa fonction dérivée.
 
 L'axe des abscisses est une asymptote commune à C et Γ au voisinage de ++
 
 La droite Δ est une asymptote à C au voisinage de
 
 
Par lecture graphique, déterminer :
 
1) limx+f(x)etlimx+f(x)
 
2) limxf(x),
 
limxf(x)x,
 
limxff(x)f(x)
 
et limx(f(x)+2x+1)
 
3) f(1), f(1)etf
 
On donne f(x)=\sqrt{x^{2}+3}-x
 
1) a) Calculer f'(x) pour x\in\mathbb{R}
 
b) Calculer f''(x) pour x\in\mathbb{R} et en déduire que f' est strictement croissante sur \mathbb{R}
 
c) En appliquant le théorème des accroissement finis, montrer que pour tout x\in\left[\dfrac{1}{2}\;,\ 2\right] on a :
 
\left|f(x)-1\right|\leq\dfrac{3}{4}\left|x-1\right|
 
2) Soit la fonction g continue sur [0\;,\ 1], dérivable sur ]0\;,\ 1] tel que : g(0)=1 et g(1)=\sqrt{3}
 
a) Montrer qu'il existe au moins un réel a\in]0\;,\ 1[ tel que f(a)=g(a)
 
b) Montrer qu'il existe au moins un réel b\in]0\;,\ 1[ tel que f'(b)=-g'(b)
 
3) On pose u(x)=x\sin\left(\dfrac{2}{x}\right)\quad\text{et}\quad v(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}+\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)
 
a) A l'aide des théorèmes de comparaison, étudier les limites en 0 des fonctions u et v.
 
b) Calculer \lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\left(u\circ f\right)(x)\quad\text{et}\quad \lim\limits_{x\longrightarrow\;0}\left(f\circ v\right)(x)
 
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