Devoir n° 6 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
Soit f une fonction deux fois dérivables sur [−2 ; 3]
La courbe ci-dessous est celle de f′ (fonction dérivée de f).
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Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse :
∙ 1) f(−)<f(2)
∙ 2) La courbe (Cf) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses
∙ 3) |f(3)−f(−2)|≤10
∙ 4) f réalise une bijection de [−2, 3] sur f([−2, 3])
Exercice 2
1) On veut former des nombres à cinq chiffres distincts avec les chiffres :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
a) Combien de nombres distincts peut-on ainsi former ?
b) Dénombrer les cas possibles si :
i. Le chiffre des unités est un nombre premier.
ii. Le nombre formé est pair.
iii. Le nombre formé comprend le chiffre 2.
Exercice 3
Déterminer les branches infinies de la courbe C des fonctions f telles que :
1) f(x)=√x2−1−√x2+x−7
2) f(x)=√x2+x−7−√x2−12x+1
3) f(x)=x−3tanx
4) f(x)=xsinx
Exercice 4
Les deux questions de cet exercice sont totalement inde pendantes
1) On considère la fonction f de finie par :
{f(x)=xsin(1x);x>0f(0)=1f(x)=xE(1x);x<0
a) Étudier la continuité de f en 0.
b) Calculer lim|x|⟶+∞f(x)
2) Soit f une fonction continue sur un segment [a ; b].
Montrer qu'il existe c∈[a ; b] tel que : 2f(a)+3f(b)=5f(c).
Exercice 5
A) Dans la figure ci-dessous :
∙ C est la courbe représentative dans un repère orthonormé d'une fonction f,
∙ Γ est la courbe de sa fonction dérivée.
∙ L'axe des abscisses est une asymptote commune à C et Γ au voisinage de ++∞
∙ La droite Δ est une asymptote à C au voisinage de −∞
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Par lecture graphique, déterminer :
1) limx⟶+∞f(x)etlimx⟶+∞f′(x)
2) limx⟶−∞f(x),
limx⟶−∞f(x)x,
limx⟶−∞f∘f(x)f(x)
et limx⟶−∞(f(x)+2x+1)
3) f(1), f′(1)etf″
On donne f(x)=\sqrt{x^{2}+3}-x
1) a) Calculer f'(x) pour x\in\mathbb{R}
b) Calculer f''(x) pour x\in\mathbb{R} et en déduire que f' est strictement croissante sur \mathbb{R}
c) En appliquant le théorème des accroissement finis, montrer que pour tout x\in\left[\dfrac{1}{2}\;,\ 2\right] on a :
\left|f(x)-1\right|\leq\dfrac{3}{4}\left|x-1\right|
2) Soit la fonction g continue sur [0\;,\ 1], dérivable sur ]0\;,\ 1] tel que : g(0)=1 et g(1)=\sqrt{3}
a) Montrer qu'il existe au moins un réel a\in]0\;,\ 1[ tel que f(a)=g(a)
b) Montrer qu'il existe au moins un réel b\in]0\;,\ 1[ tel que f'(b)=-g'(b)
3) On pose u(x)=x\sin\left(\dfrac{2}{x}\right)\quad\text{et}\quad v(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}+\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)
a) A l'aide des théorèmes de comparaison, étudier les limites en 0 des fonctions u et v.
b) Calculer \lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\left(u\circ f\right)(x)\quad\text{et}\quad \lim\limits_{x\longrightarrow\;0}\left(f\circ v\right)(x)
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