Devoir n° 7 - 1e S2

1) Résoudre dans $\mathbb{R}\;;\ 8x^{2}-343x+335=0.$

 

2) Trouver deux nombres dont la différence est 9 et la différence des cubes est 999.

Déterminer un polynôme $P(x)$ du troisième degré, tel que, pour tout réel x, on ait : $$P(x)-P(x-1)=x^{2}$$

En déduire la somme $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}\;$ , puis pour tout entier $n$ $$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}$$

Déterminer un polynôme du troisième degré, divisible par $x-1$ et $x+2\;$, et dont les restes respectifs des divisions par $x+1$ et $x-3$ soient 10 et 30.

1) Déterminer le réel $a$ tel que, pour tout réel $x\;$, on ait : $$-3\leq\dfrac{x^{2}+ax-2}{x^{2}-x+1}\leq 2$$

2) Résoudre dans $\mathbb{R}\ :\ x-2<\sqrt{2x-3}$

Soit $P(x)=(m-3)x^{2}-8x+(m+3).$

 

1) Étudier l'existence et le signe des solutions de l'équation $P(x)=0.$

 

2) Déterminer $m$ tel que les racines $x'$ et et $x''$ de l'équation $P(x)=0$ vérifient : $$(2x'+1)(2x''+1)=4$$

3) Déterminer l'équation du second degré dont les solutions sont : $x'-1$ et $x''+1.$

 

$$\text{Durée 2 h}$$