Devoir n° 7 - Ts1

En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontrer les inégalités suivantes :

 

1. $\dfrac{b-a}{\cos^{2}a}\leq\tan b-\tan a\leq\dfrac{b-a}{\cos^{2}b}$ ; 

 

$0<a<b<\dfrac{\pi}{2}.$

 

2. $\dfrac{1}{2\sqrt{a+1}}\leq\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\leq\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ ; 

 

$a>0.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0\;,\dfrac{1}{2}\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sin\pi x}$

 

1. Montrer que $f$ est une bijection de $\left]0\;,\dfrac{1}{2}\right]$ sur $[1\;,+\infty[.$

 

2. Soit $f^{-1}$ la bijection réciproque.

 

Calcul $f^{-1}(2).$

 

3. Montrer $f^{-1}$ est dérivable sur $]1\;,+\infty[$ et déterminer sa fonction dérivée.

 

4. Soit $n$ un entier naturel non nul.

 

On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\left]\;,\dfrac{1}{2}\right]$, $f_{n+1}(x)>f_{n}(x).$

 

En déduire que $f_{n+1}\left(a_{n}\right)>0$

 

c. Montrer que $a_{n}$ est croissante et qu'elle est convergente.

 

d. Montrer que $a_{n}=f^{-1}\left(2+\left(a_{n}\right)^{n}\right).$

 

Calculer alors $\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}a_{n}.$

 

 

Soit la fonction $f$ définie par : 

 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&x\sqrt{|\dfrac{x+1}{x}|}\\ f(x)&=&\dfrac{x^{3}-x^{2}}{x^{2}+1} \end{array}\right.$

 

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ puis l'écrire sans valeurs absolue.

 

2. a. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $0.$

 

b. Étudier la dérivabilité de $f$ en $-1.$

 

Interpréter les résultats.

 

3. Soit la fonction $g$ définie par :

 

$g(x)=x^{3}+3x-2.$

 

a. Montrer que l'équation $((x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\mathbb{R}$

 

b. En déduire le signe de $g$ suivant les valeurs de $x$

 

4. Calculer $f'(x)$ sur les intervalles où $f$ est dérivable.

 

5. montrer que sur $]0\;,+\infty[$, $f^{'}(x)=\dfrac{xg(x)}{x^{2}+1}$, puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}.$

 

6. Étudier les branches infinies de $f.$

 

7. Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=]-\infty\;,-1].$

 

a. Monter que $h$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à préciser.

 

b. $h^{-1}$ est-elle dérivable en $-\sqrt{2}$ ?

 

Si oui déterminer $\left(h^{-1}\right)^{'}(-\sqrt{2}).$

 

8. Tracer $\mathcal{C_{f}}$ et $\mathcal{C_{h}^{-1}}$ dans un même repère.