Devoir n° 7 - Ts1

Classe: 
Terminale

Exercice 

Partie A

En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontrer les inégalités suivantes :
 
1. bacos2atanbtanabacos2b
 
0<a<b<π2.
 
2. 12a+1a+1a12a
 
a>0.

Parte B

Soit f la fonction définie sur ]0,12] par f(x)=1sinπx
 
1. Montrer que f est une bijection de ]0,12] sur [1,+[.
 
2. Soit f1 la bijection réciproque.
 
Calcul f1(2).
 
3. Montrer f1 est dérivable sur ]1,+[ et déterminer sa fonction dérivée.
 
4. Soit n un entier naturel non nul.
 
On considère la fonction fn définie sur ],12], fn+1(x)>fn(x).
 
En déduire que fn+1(an)>0
 
c. Montrer que an est croissante et qu'elle est convergente.
 
d. Montrer que an=f1(2+(an)n).
 
Calculer alors limn+an.
 

Problème 

 
Soit la fonction f définie par : 
 
{f(x)=x|x+1x|f(x)=x3x2x2+1
 
1. Déterminer le domaine de définition de f puis l'écrire sans valeurs absolue.
 
2. a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
 
b. Étudier la dérivabilité de f en 1.
 
Interpréter les résultats.
 
3. Soit la fonction g définie par :
 
g(x)=x3+3x2.
 
a. Montrer que l'équation ((x)=0 admet une solution unique α sur R
 
b. En déduire le signe de g suivant les valeurs de x
 
4. Calculer f(x) sur les intervalles où f est dérivable.
 
5. montrer que sur ]0,+[, f(x)=xg(x)x2+1, puis dresser le tableau de variation de f sur R.
 
6. Étudier les branches infinies de f.
 
7. Soit h la restriction de f à l'intervalle I=],1].
 
a. Monter que h réalise une bijection de I vers un intervalle J à préciser.
 
b. h1 est-elle dérivable en 2 ?
 
Si oui déterminer (h1)(2).
 
8. Tracer Cf et Ch1 dans un même repère.
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