Devoir n° 8 - 2nd s

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : 

 

a) $|x+1|+|-x+3|\quad$ b) $\dfrac{2x+1}{x+2}=\dfrac{2x-3}{x-1}$.

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes : 

 

a) $|-2x+7|\leq 5\quad$ b) $(x^{2}-4)+(x+2)\geq 0.$

1) Démontrer que, pour tout entier naturel non nul : $$1-\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{n-1}{n}\times\dfrac{n+1}{n}$$

2) En déduire une expression simple du produit : $$\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{19^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{20^{2}}\right)$$

Les différentes questions sont indépendantes.

 

1) $ABCD$ et $AB'CD'$ deux parallélogrammes $(B'\neq B\ \text{ et }\ D'\neq D).$

 

Comparer les vecteurs $\overrightarrow{BB}'$ et $\overrightarrow{DD}'$.

 

2) $ABCD$ est un parallélogramme, 

 

$E$ et $F$ sont tels que : $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DF}$ et $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BE}$

 

Démontrer que $E\;,\ C\;,\ F$ sont alignés.

 

3) $ABCD$ est un quadrilatère. $A'\;,\ B'\;,\ C'\;,\ D'$  sont les milieux respectifs des segments $[AB]\;,\ [BC]\;,\ [CD]$ et $[AD].$ Démontrer que $A'B'C'D'$ est un parallélogramme.

Les deux questions sont totalement indépendantes.

 

$ABCD$ est un quadrilatère.

 

1) $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[CD].$

 

Démontrer que $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

 

2) $P$ et $Q$ sont tels que : $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QD}$.

 

$R$ et $V$ sont tels que : $\overrightarrow{BR}=\overrightarrow{RV}=\overrightarrow{VC}$.

 

$P$ et $Q$ sont tels que : $\overrightarrow{IS}=\overrightarrow{SK}=\overrightarrow{KJ}$.

 

Démontrer que $S$ est le milieu de $[PR]$ et $K$ celui de $[QV].$

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels de $]0\;;\ 1[.$

 

1) Quel est le signe de $(1-a)(1-b)\;$ ?

 

2) Comparer $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ et $1+\dfrac{1}{ab}$.

 

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$