Devoir n° 9 - TL

 

Résoudre :

 

a) $\mathrm{e}^{4x+2}=\mathrm{e}^{5x+1}$

 

b) $\ln(\mathrm{e}^{x}+1)+\ln(\mathrm{e}^{x}-1)=1$

 

c) $\mathrm{e}^{3x-1}>\mathrm{e}^{x^{2}+1}$

 

d) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{2y-1}&=&1\\ \\\mathrm{e}^{x+2}\times\mathrm{e}^{y}&=&\mathrm{e}\end{array}\right.$

 

Soit la suite $u_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} u_{0}&=&9\\ \\u_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}u_{n}+2\end{array}\right.$$

1) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}$

 

2) Soit $(v_{n\in\mathbb{N}})$ définie par : $v_{n}=u_{n}-3.$

 

Montrer que $(v_{n\in\mathbb{N}})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

 

3) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ puis $u_{n}$ en fonction de $n.$

 

4) Calculer la somme $S_{n}$ des $n$ premiers termes de la suite $v_{n}$ en fonction de $n.$

 

5) Calculer la suite $P_{n}$ somme des $n$ premiers termes de la suite $u_{n}$ en fonction de $n.$

 

On considère la fonction numérique définie par :

$$f(x)=\dfrac{1-2\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$$

$(\mathcal{C}_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $1\;cm).$

 

1) a) Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f.$

 

b) Étudier les limites aux bornes de $D_{f}$ et en déduire les asymptotes éventuelles.

 

c) Calculer $f'(x)$ puis déterminer son signe et en déterminer le tableau de variation de $f.$

 

2) a) Démontrer que le point $I\left(0\;;\ \dfrac{-1}{2}\right)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_{f}).$

 

b) Résoudre dans $\mathbb{R}\ :\ 2\mathrm{e}^{2x}-5\mathrm{e}^{x}+2=0$

 

c) Déterminer une équation de la tangente au point $x_{0}=2.$

 

d) Déterminer les points d'intersection avec les axes s'ils existent.

 

3) Construire $(\mathcal{C}_{f})$ et la tangente.

 

4) Vérifier que pour tout $x\in D_{f}\ :\ f(x)=1-\dfrac{3\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$

 

 

$$\text{Durée 2 heures}$$