Devoir n° 9 - TL

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1 (04 points)

Résoudre :
 
a) $\mathrm{e}^{4x+2}=\mathrm{e}^{5x+1}$
 
b) $\ln(\mathrm{e}^{x}+1)+\ln(\mathrm{e}^{x}-1)=1$
 
c) $\mathrm{e}^{3x-1}>\mathrm{e}^{x^{2}+1}$
 
d) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{2y-1}&=&1\\ \\\mathrm{e}^{x+2}\times\mathrm{e}^{y}&=&\mathrm{e}\end{array}\right.$
 

Exercice 2 (06 points)

Soit la suite $u_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} u_{0}&=&9\\ \\u_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}u_{n}+2\end{array}\right.$$
1) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}$
 
2) Soit $(v_{n\in\mathbb{N}})$ définie par : $v_{n}=u_{n}-3.$
 
Montrer que $(v_{n\in\mathbb{N}})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
 
3) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ puis $u_{n}$ en fonction de $n.$
 
4) Calculer la somme $S_{n}$ des $n$ premiers termes de la suite $v_{n}$ en fonction de $n.$
 
5) Calculer la suite $P_{n}$ somme des $n$ premiers termes de la suite $u_{n}$ en fonction de $n.$
 

Exercice 3 (10 points)

On considère la fonction numérique définie par :
$$f(x)=\dfrac{1-2\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$$
$(\mathcal{C}_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $1\;cm).$
 
1) a) Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f.$
 
b) Étudier les limites aux bornes de $D_{f}$ et en déduire les asymptotes éventuelles.
 
c) Calculer $f'(x)$ puis déterminer son signe et en déterminer le tableau de variation de $f.$
 
2) a) Démontrer que le point $I\left(0\;;\ \dfrac{-1}{2}\right)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_{f}).$
 
b) Résoudre dans $\mathbb{R}\ :\ 2\mathrm{e}^{2x}-5\mathrm{e}^{x}+2=0$
 
c) Déterminer une équation de la tangente au point $x_{0}=2.$
 
d) Déterminer les points d'intersection avec les axes s'ils existent.
 
3) Construire $(\mathcal{C}_{f})$ et la tangente.
 
4) Vérifier que pour tout $x\in D_{f}\ :\ f(x)=1-\dfrac{3\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$
 
 
$$\text{Durée 2 heures}$$

 

Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

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