Devoir n° 9 - Ts1

Soit $\theta$ un réel tel que $O<\theta\leq\dfrac{\pi}{2}$ et  $\left(\cup_{n}\right)n\in\mathbb{N}$, la suite définie par : 

$\cup_{0}=2\cos\theta\text{ et }\cup_{n+1}=\sqrt{U_{n}+2}n\in\mathbb{N}.$
 

 

1. Calculer en fonction de $\theta$, $\cup_{1}$  et  $\cup_{2}$ puis comparer $\cup_{0}$ et $\cup_{1}.$

 

2. a. Montrer par récurrence que la suite $\left(U_{n}\right)$ est croissante.

 

b. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$, $0<\cup_{n}\leq 2.$

 

c. En déduire que $\left(U_{n}\right)$ est convergente et trouver sa limite.

 

3. a. Montrer par récurrence que pour tout $n$, $\cup_{n}=\cos\left(\dfrac{\theta}{2"}\right)$

 

b. Retrouver alors la limite de $\left(\cup_{n}\right).$

Soit $P$ le polynôme de la variable complexe $z$ défini par :

$P(z)=\left(z^{2}-5z+8\right)^{2}+(4-z)^{2}.$

 

1. Résoudre dans $C$ l'équation $\left(z^{2}-5z+8\right)+i(4-z)=0$

 

2. Résoudre dans $C$ l'équation $P(z)=0.$

 

3. Soit $x$ un réel ; factoriser $P(x)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I=\left[-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ par :

 

$g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}.$

 

On pose $V(x)=g(x)+\dfrac{1}{2}x^{4}\;,\quad \forall x\ln I.$

 

1. Étudier les variations de $g$ et de $V$

 

$\left(\text{il ne sera pas nécessaire de calculer les limites aux bornes de }\mathbb{D}_{g}\text{et de }\mathbb{D}_{v}\right)$

 

2. En déduire que, $\forall x\ìn I$,

 

$-\dfrac{1}{2}x^{4}\leq g(x)\leq 0.$

Soit la fonction $f$ définie sur $]-1\ ;\ +\infty[$ par : 

 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^{2}}\quad\text{Si }x\neq 0\\ f(0)&=&\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$

 

On note $\left(\mathcal{C}\right)$ la courbe de $f$ dans le plan muni d'un repère $\left(O\;,\vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ $(\text{Unité }: 2\,cm).$

 

3.1.a Vérifier, pour tout $x\geq-\dfrac{1}{2}$ et $x\neq 0$, que $f(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}.$

 

b. En utilisant l'inégalité trouvée en $A$

 

2. démontrer que $f$ est dérivable en $0$ et donner une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0.$

 

c. $f$ est-elle contenue en $0$ ? Justifier votre réponse.

 

2. Soit $h$ la fonction définie sur $]-1\ ;\ +\infty[$ par : $h(x)=\dfrac{-x^{2}-2x}{1+x}+2\ln(1+x)$

 

a. Étudier le sens de variation de $h$ ; calculer $h(0)$ et en déduire le signe de $h$ sur $]-1\ ;\ +\infty[.$

 

b. Démontrer que pour tout $x\ln]-1\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[$, on a $f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^{3}}$

 

c. dresser le tableau de variation complet de $f.$

 

3. Construire $(\mathcal{C})$ et la tangente $(T)$ $(\text{On précisera les asymptotes de (\mathcal{C)}})$

1.a Démonter que la fonction $w$ définie sue $]-1\ ;\ +\infty[$ par : $w(x)=f(x)-x$ est continue et strictement décroissante.

 

b. En déduire que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-1\ ;\ +\infty[$ et que $\dfrac{1}{4}<\alpha<1$

 

2.a. Sachant que pour tout $x\geq 0$ 

 

On a : $x-\dfrac{x^{2}}{2}\leq\ln(1+x)$, démontrer alors que pour tout $x\geq 0$ 

 

On a : $\dfrac{-1}{1+x}\leq f'(x)\leq 0$ ; puis pour tout $x\in\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ 1\right]\quad|f'(x)|\leq\dfrac{4}{5}.$

 

$(\text{On pourra utiliser les résultats de }B.2)$

 

b. Démontrer que si $\dfrac{1}{4}\leq x\leq 1$ alors $\dfrac{1}{4}\leq x\leq 1$ alors $\dfrac{1}{4}\leq f(x)\leq 1.$

 

3. On définit la suite $\left(V_{n}\right)$ par :

 

$V_{0}=\dfrac{1}{2}$ et par la relation de récurrence $V_{n+1}=f\left(V_{n}\right)\;,\forall n\in\mathbb{N}$

 

a. Justifier que, $\forall n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{1}{4}\leq V_{n}\leq 1$

 

b. Démontrer que, $\forall n\in\mathbb{N}$,

 

$\left|V_{n+1}-\alpha\right|\leq\dfrac{4}{5}\left|V_{n}-\alpha\right|$ ; puis que, $\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad\left|V_{n}-\alpha\right|\leq\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}.$

 

c. En déduire que la droite $\left(V_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite.

 

d. Déterminer un entier $n_{0}$ tel que $\forall n\geq n_{0}$, $V_{n}$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.