Devoir n°10 - Ts2

Classe: 
Terminale
 
(SANKORE 2005)
 

Exercice 1
 

On donne la fonction f définie sur R par :
 
f(x)=15cosx+6cos2x+cos3x.
 
1) Calculer la dérivée de f.
 
2) Vérifier que : sin3x=sinx(4cos2x1).
 
Utiliser cette relation pour établir que : 
 
f(x)=12sinx(1+cosx)2.
 
3) en déduire que :
 
f(x)=4(1+cosx)2+k, k étant un réel que l'on déterminera.
 

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur [0; π2] par f(x)=1cosx.
 
1) Démontrer que f réalise une bijection de [0; π2] sur un intervalle I que l'on déterminera.
 
2) Déterminer l'ensemble J sur lequel f1 est dérivable et montrer que :
xJ,(f1)(x)=1xx21
 

Exercice 3

Soit g : xx+1+x2+4x.
 
1) Déterminer Dg, les limites aux bornes de Dg et les asymptotes de la courbe (Cg).
 
Préciser la position de (Cg) par rapport à chacune de ces asymptotes.
 
2) Étudier la dérivabilité de g en 0 et -4. Interpréter graphiquement ces résultats.
 
3) Étudier les variations de g.
 
4) a) Soit h la restriction de g à [0; +[.
 
Montrer que h admet une bijection h1 dont on précisera l'ensemble de définition et les variations.
 
b) Étudier la dérivabilité de h1 sur J{1}.
 
c) Démontrer que l'équation h(x)=5 admet une solution unique.
 
d) Déterminer h1(y) pour yJ.
 

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