Devoir n°10 - Ts2

 

On considère la fonction $g$ définie par : 

 

$g(x)=\dfrac{1+\sin 2x}{\cos 2x}.$

 

1) Montrer que $g$ est périodique, de période $\pi.$

 

2) Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\setminus\left\lbrace-\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right\rbrace.$

 

3) Montrer que $g'(x)=\dfrac{2(1+\sin 2x)}{\cos^{2}2x}.$

 

4) Étudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f.$

On considère la fonction $g$ définie par : 

 

$g(x)=\dfrac{1+\sin 2x}{\cos 2x}.$ 

 

1) Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[$

 

2) Calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x)=\dfrac{2(1+\sin 2x)}{\cos^{2}2x}.$

 

3) On considère la fonction $h$ définie par : 

 

$h(x)=\dfrac{2(1+\sin 2x)}{\cos 2x}-2\sin 2x\left(\dfrac{1+\sin 2x}{\cos 2x}\right).$ 

 

Déterminer la primitive $H\text{ de }h\text{ sur }\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[$ telle que $H\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=3.$

 

4) Étudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f.$

1) Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes

$$z_{1}=-3+3\mathrm{i}\quad\text{et}\quad z_{2}=-6\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}+\mathrm{i}\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)$$

 

2) Soit $n$ un nombre entier relatif.

 

a) Démontrer que $z^{n}$ est un nombre réel si et seulement si $n=\dfrac{4k}{3}\;,\ k\in\mathbb{Z}.$ 

 

Quelles sont les valeurs possibles de $k$ ?

 

b) Les nombres complexes $z_{1}^{2004}\ $ et $\ z_{2}^{2005}$ sont-ils réels ? Justifier.

On considère le polynôme complexe $P(z)=z^{3}+(1+2\mathrm{i})z^{2}-3(1-\mathrm{i})z-2-2\mathrm{i}.$

 

1) Montrer que $P(z)$ admet une racine réelle notée $z_{1}$ et une racine imaginaire pure notée $z_{2}.$

 

2) Déterminer la troisième racine $z_{3}.$

 

3) On considère les nombres complexes $z_{1}=-2\;;\ z_{2}=\mathrm{i}\;;\ z_{3}=1-\mathrm{i}$ et $z_{4}=\sqrt{3}-\mathrm{i}.$

 

Écrire $z_{1}\;,\ z_{2}\;,\ z_{3}\;,\ z_{4}$ sous forme trigonométrique.

 

4) On pose $Z=\dfrac{z_{4}}{z_{3}}.$

 

a) Écrire $Z$ sous forme trigonométrique et algébrique.

 

b) En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{5\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{5\pi}{12}.$

 

c) Déduire de la question 4) b) les valeurs exactes de $\cos\dfrac{7\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{7\pi}{12}.$