Devoir n°10 - Ts2
Classe:
Terminale
Exercice 1 (3 points)
On considère la fonction gg définie par :
g(x)=1+sin2xcos2x.g(x)=1+sin2xcos2x.
1) Montrer que gg est périodique, de période π.π.
2) Montrer que gg est dérivable sur l'intervalle [−π2; π2]∖{−π4; π4}.[−π2; π2]∖{−π4; π4}.
3) Montrer que g′(x)=2(1+sin2x)cos22x.
4) Étudier le signe de g′(x) et dresser le tableau de variation de f.
Exercice 2 (3 points)
On considère la fonction g définie par :
g(x)=1+sin2xcos2x.
1) Montrer que g est dérivable sur l'intervalle ]0; π4[
2) Calculer g′(x) et montrer que g′(x)=2(1+sin2x)cos22x.
3) On considère la fonction h définie par :
h(x)=2(1+sin2x)cos2x−2sin2x(1+sin2xcos2x).
Déterminer la primitive H de h sur ]0; π4[ telle que H(π12)=3.
4) Étudier le signe de g′(x) et dresser le tableau de variation de f.
Exercice 3 (3 points)
1) Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes
z1=−3+3ietz2=−6(cos7π12+isin7π12)
2) Soit n un nombre entier relatif.
a) Démontrer que zn est un nombre réel si et seulement si n=4k3, k∈Z.
Quelles sont les valeurs possibles de k ?
b) Les nombres complexes z20041 et z20052 sont-ils réels ? Justifier.
Exercice 4 (7 points)
On considère le polynôme complexe P(z)=z3+(1+2i)z2−3(1−i)z−2−2i.
1) Montrer que P(z) admet une racine réelle notée z1 et une racine imaginaire pure notée z2.
2) Déterminer la troisième racine z3.
3) On considère les nombres complexes z1=−2; z2=i; z3=1−i et z4=√3−i.
Écrire z1, z2, z3, z4 sous forme trigonométrique.
4) On pose Z=z4z3.
a) Écrire Z sous forme trigonométrique et algébrique.
b) En déduire les valeurs exactes de cos5π12 et sin5π12.
c) Déduire de la question 4) b) les valeurs exactes de cos7π12 et sin7π12.
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