Devoir n°11 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
Soit fn(x)=x5+nx−2n où x∈R,n∈N∗
1) a) Montrer que fn est strictement croissante sur R et donner fn(R).
b) Montrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution xn et que xn∈[0, 2].
c) Calculer x0 et x1 et montrer que quelque soit n∈N∗ : xn≥1.
2) a) Montrer que quelque soit x∈[0, 2] et quelque soit n∈N : fn+1(x)≤fn(x).
En déduire que la suite (xn) est croissante et qu'elle converge.
b) Montrer que quelque soit n∈N∗ : 2−32n≤xn≤2.
En déduire la limite de (xn).
3) Soit la fonction g définie par : {g(x)=−2−x2sin(πx)si x<0g(x)=f1(x)si x≥0
a) Calculer limx⟶−∞g(x).
b) Montrer que pour tout x<0\ ∶\ -x^{2}-2\leq g(x)\leq x^{2}-2
c) Montrer que g est continue en 0.
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}+ par f(x)=\dfrac{2(x+1)}{x^{2}+2x+2}
I. 1) a) Dresser le tableau des variations de la fonction f
b) Étudier le sens de variation de la fonction \varphi\ :\ x\mapsto f(x)-x\text{ sur }\mathbb{R}+, en déduire que l'équation : f(x)=x admet dans \mathbb{R}+ une solution unique \alpha tel que \alpha\in\left]\dfrac{4}{5}\ ;\ 1\right[
c) Construire la courbe \mathcal{C}_{f} et la droite \Delta\ :\ y=x dans un même repère ON\ \left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)
2) Soit \left(u_{n}\right) la suite définie par u_{0}\in\left]\dfrac{4}{5}\ ;\ 1\right[\text{ et }u_{n+1}=f\left(u_{n}\right), pour tout n de \mathbb{N}.
a) Montrer que ; pour tout n de \mathbb{N} on a : u_{n}\in\left]\dfrac{4}{5}\ ;\ 1\right[.
b) Vérifier que : \forall\;x\in\mathbb{R}+\text{ on a : }\left|f'(x)\right|-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{(x+1)^{2}-3}{x^{2}+2x+2}\right]^{2}
en déduire que \forall\;x\in\mathbb{R}+\text{ on a : }\left|f'(x)\right|\leq\dfrac{1}{4}
c) Montrer que ; \forall\;x\in\mathbb{R}+\text{ on a : }\left|u_{n+1}-\alpha\right|\leq\dfrac{1}{4}\left|u_{n}-\alpha\right|
d) Montrer que, \forall\;n\in\mathbb{N},\text{ on a : }\left|u_{n+1}-\alpha\right|\leq\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\left|u_{n}-\alpha\right|
En déduire que \left(u_{n}\right) est convergente et donner sa limite.
3) a) Montrer que f réalise une bijection de \mathbb{R}+ sur ]0\ ;\ 1].
On note f^{-1} la réciproque de f.
b) Construire la courbe \mathcal{C}_{f}^{-1} dans le même repère \left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).
c) Montrer que ; \forall\;x\in]0\ ;\ 1],\text{ on a : }f^{-1}(x)=\dfrac{1-x+\sqrt{1-x^{2}}}{x}.
d) Étudier la dérivabilité de f^{-1} sur ]0\ ;\ 1] et calculer \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x) lorsqu'il existe.
II. Pour tout x de \left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right], on pose g(x)=f^{-1}(\sin x).
1) Montrer que ; \forall\;x\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\ ;\ \text{on a : }g(x)=\dfrac{1}{\sin x}-1+\cotan x .
2) Montrer que g réalise une bijection de \left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right] sur \mathbb{R}.
On note g^{-1} la réciproque de g.
3) a) Soit y de \left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right].
On pose x=g(y).
Établir que \sin y=f(x).
b) Montrer que g^{-1} est dérivable sur \mathbb{R}+, et que \left(g^{-1}\right)^{\prime}(x)=\dfrac{-2}{x^{2}+2x+2}.
III. Pour tout x de ]0\ ;\ 1], on pose h(x)=f^{-1}\left(\sqrt{x}\right).
1) a) Montrer que h est dérivable sur ]0\ ;\ 1[ et calculer h^{\prime}(x).
b) Étudier la dérivabilité de h à gauche en 1.
2) Pour tout n de \mathbb{N}^{\ast}, on pose $$v_{n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}h\left(\dfrac{1}{k}\right).$
Montrer que ; \forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}, on a : v_{n}=\sqrt{2n}.
Donner alors : \lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{v_{n}}{\sqrt{n}}
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