Devoir n°11 - Ts1

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

Soit fn(x)=x5+nx2n où xR,nN
 
1) a) Montrer que fn est strictement croissante sur R et donner fn(R).
 
b) Montrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution xn et que xn[0, 2].
 
c) Calculer x0 et x1 et montrer que quelque soit nN : xn1.
 
2) a) Montrer que quelque soit x[0, 2] et quelque soit nN : fn+1(x)fn(x). 
 
En déduire que la suite (xn) est croissante et qu'elle converge.
 
b) Montrer que quelque soit nN : 232nxn2. 
 
En déduire la limite de (xn).
 
3) Soit la fonction g définie par : {g(x)=2x2sin(πx)si x<0g(x)=f1(x)si x0
 
a) Calculer limxg(x).
 
b) Montrer que pour tout x<0\ ∶\ -x^{2}-2\leq g(x)\leq x^{2}-2
 
c) Montrer que g est continue en 0.

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}+ par f(x)=\dfrac{2(x+1)}{x^{2}+2x+2}
 
I. 1) a) Dresser le tableau des variations de la fonction f
 
b) Étudier le sens de variation de la fonction \varphi\ :\ x\mapsto f(x)-x\text{ sur }\mathbb{R}+, en déduire que l'équation : f(x)=x admet dans \mathbb{R}+ une solution unique \alpha tel que \alpha\in\left]\dfrac{4}{5}\ ;\ 1\right[
 
c) Construire la courbe \mathcal{C}_{f} et la droite \Delta\ :\ y=x dans un même repère ON\ \left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right) 
 
2) Soit \left(u_{n}\right) la suite définie par u_{0}\in\left]\dfrac{4}{5}\ ;\ 1\right[\text{ et }u_{n+1}=f\left(u_{n}\right), pour tout n de \mathbb{N}.
 
a) Montrer que ; pour tout n de \mathbb{N} on a : u_{n}\in\left]\dfrac{4}{5}\ ;\ 1\right[.
 
b) Vérifier que : \forall\;x\in\mathbb{R}+\text{ on a : }\left|f'(x)\right|-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{(x+1)^{2}-3}{x^{2}+2x+2}\right]^{2}
 
en déduire que \forall\;x\in\mathbb{R}+\text{ on a : }\left|f'(x)\right|\leq\dfrac{1}{4}
 
c) Montrer que ; \forall\;x\in\mathbb{R}+\text{ on a : }\left|u_{n+1}-\alpha\right|\leq\dfrac{1}{4}\left|u_{n}-\alpha\right| 
 
d) Montrer que, \forall\;n\in\mathbb{N},\text{ on a : }\left|u_{n+1}-\alpha\right|\leq\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\left|u_{n}-\alpha\right| 
 
En déduire que \left(u_{n}\right) est convergente et donner sa limite.
 
3) a) Montrer que f réalise une bijection de \mathbb{R}+ sur ]0\ ;\ 1]. 
 
On note f^{-1} la réciproque de f.
 
b) Construire la courbe \mathcal{C}_{f}^{-1} dans le même repère \left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).
 
c) Montrer que ; \forall\;x\in]0\ ;\ 1],\text{ on a : }f^{-1}(x)=\dfrac{1-x+\sqrt{1-x^{2}}}{x}. 
 
d) Étudier la dérivabilité de f^{-1} sur ]0\ ;\ 1] et calculer \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x) lorsqu'il existe.
 
II. Pour tout x de \left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right], on pose g(x)=f^{-1}(\sin x).
 
1) Montrer que ; \forall\;x\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\ ;\ \text{on a : }g(x)=\dfrac{1}{\sin x}-1+\cotan x .
 
2) Montrer que g réalise une bijection de \left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right] sur \mathbb{R}. 
 
On note g^{-1} la réciproque de g.
 
3) a) Soit y de \left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right].
 
On pose x=g(y). 
 
Établir que \sin y=f(x).
 
b) Montrer que g^{-1} est dérivable sur \mathbb{R}+, et que \left(g^{-1}\right)^{\prime}(x)=\dfrac{-2}{x^{2}+2x+2}.
 
III. Pour tout x de ]0\ ;\ 1], on pose h(x)=f^{-1}\left(\sqrt{x}\right).
 
1) a) Montrer que h est dérivable sur ]0\ ;\ 1[ et calculer h^{\prime}(x).
 
b) Étudier la dérivabilité de h à gauche en 1.
 
2) Pour tout n de \mathbb{N}^{\ast}, on pose $$v_{n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}h\left(\dfrac{1}{k}\right).$
 
Montrer que ; \forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}, on a : v_{n}=\sqrt{2n}.
 
Donner alors : \lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{v_{n}}{\sqrt{n}}
 
  
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