Devoir n°11 - Ts2

 

 

(LCOFT 2001)

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : 

 

$f(x)=\dfrac{|x^{2}+x|+1}{|x|+1}\text{ et }\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

 

1) Suivant les valeurs de $x$, exprimer $f(x)$ sans le symbole de « valeur absolue ».

 

2) Étudier la dérivabilité de $f$ en 0 et -1.

 

Quelles sont les conséquences graphiques de cette étude ?

 

3) Étudier la fonction $f$ (limites, variations).

 

4) Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}\text{ en }+\infty$ et que la droite $\mathcal{D'}$ d'équation $y=-x-2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}\text{ en }-\infty.$

 

Préciser la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}.$

 

5) Tracer les droites $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$, ainsi que les demi-tangentes aux points d'abscisse -1 et 0 et la courbe $\mathcal{C}.$

1) Déterminer l'ensemble des primitives, sur un intervalle $I$ que l'on précisera, de chacune des fonctions :

 

$\text{a) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos2x}{\sin^{3}2x}\quad \text{b) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}\quad \text{c) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{(3x+2)^{2}}$

 

2) a) Démontrer que la fonction $f\ :\ x\mapsto \cos x$ est une bijection de $[0\;;\ \pi]$ sur un intervalle $J$

que l'on précisera.

 

b) Soit $f^{-1}$ la bijection réciproque de $f.$ $(f^{-1}\ :\ J\rightarrow[0\;;\ \pi]).$

 

Déterminer une équation de la tangente à $\Gamma$ , courbe représentative de $f^{-1}$, au point d'abscisse

$x_{0}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Un sac contient neuf jetons numérotés respectivement de 1 à 9.

 

On suppose que tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés.

 

1) On tire successivement, sans remise, trois jetons du sac.

 

On forme ainsi un nombre de trois chiffres.

 

Le premier jeton tiré donne le chiffre des unités, le second le chiffre des dizaines et le troisième donne le chiffre des centaines. Calculer la probabilité pour que :

 

a) le chiffre des unités du nombre obtenu soit 9.

 

b) le chiffre 9 figure dans le nombre obtenu.

 

c) la somme des chiffres du nombre obtenu soit 9.

 

2) On tire cette fois, successivement trois jetons du sac, mais en remettant à chaque fois dans le sac le jeton tiré.

 

Calculer la probabilité pour que le chiffre 9 figure exactement une fois dans le nombre obtenu.

Une urne contient 12 boules noires et 2 boules blanches.

 

1) On tire simultanément boules. On suppose l'hypothèse d'équiprobabilité.

 

Quelle est la probabilité d'avoir deux boules blanches ? d'avoir au moins une boule blanche ?

 

2) Combien de boules faut-il tirer, au minimum, pour que la probabilité d'avoir au moins une boules blanche soit supérieure à $\dfrac{5}{6}$  ?