Devoir n°12 - Ts1

Classe: 
Terminale
 

Problème

Partie I
 
On considère pour tout entier naturel n non nul la fonction gn définie sur ]0, +[ par : gn(x)=lnxxn ;  avec nN
 
1) Dresser le tableau de variation des gn.
 
2) Construire la courbe C1, représentative de la fonction g1 dans le plan rapporté à un repère orthonormal ; on précisera ses asymptotes.
 
3) Pour tout réel λ1, on pose In(λ)=λ1gn(t)dt.
 
a) Calculer I1(λ).
 
b) Calculer In(λ) en fonction de n et de λ pour n2.
 
Déduire de ce résultat la valeur de A=λ2g2(t)dt.
 
c) Soit n un entier naturel 2 fixé. 
 
Calculer limλ+In(λ)
 
Partie II
 
On considère la fonction g2 telle que g2(x)=lnxx2.
 
1) Montrer que, pour tout entier naturel p, p2 : g2(p+1)p+1pg2(t)dtg2(p).
 
2) On considère la suite (Sk)k2 définie par son terme général Sk=ki=2ln(i)i2.
 
a) Montrer que la suite (Sk)k2 est croissante.
 
b) Montrer que Skln222k2g2(t)dtSklnkk2. 
 
En déduire un encadrement de Sk.
 
c) En utilisant la valeur de A, montrer que la suite (Sk)k2 est majorée.
 
d) Montrer que la suite (Sk)k2 est convergente et que sa limite l vérifie : 12+ln22l12+3ln24.
 
 
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