Devoir n°12 - Ts1
Classe:
Terminale
Problème
Partie I
On considère pour tout entier naturel n non nul la fonction gn définie sur ]0, +∞[ par : gn(x)=lnxxn ; avec n∈N∗
1) Dresser le tableau de variation des gn.
2) Construire la courbe C1, représentative de la fonction g1 dans le plan rapporté à un repère orthonormal ; on précisera ses asymptotes.
3) Pour tout réel λ≥1, on pose In(λ)=∫λ1gn(t)dt.
a) Calculer I1(λ).
b) Calculer In(λ) en fonction de n et de λ pour n≥2.
Déduire de ce résultat la valeur de A=∫λ2g2(t)dt.
c) Soit n un entier naturel ≥2 fixé.
Calculer limλ⟶+∞In(λ)
Partie II
On considère la fonction g2 telle que g2(x)=lnxx2.
1) Montrer que, pour tout entier naturel p, p≥2 : g2(p+1)≤∫p+1pg2(t)dt≤g2(p).
2) On considère la suite (Sk)k≥2 définie par son terme général Sk=k∑i=2ln(i)i2.
a) Montrer que la suite (Sk)k≥2 est croissante.
b) Montrer que Sk−ln222≤∫k2g2(t)dt≤Sk−lnkk2.
En déduire un encadrement de Sk.
c) En utilisant la valeur de A, montrer que la suite (Sk)k≥2 est majorée.
d) Montrer que la suite (Sk)k≥2 est convergente et que sa limite l vérifie : 12+ln22≤l≤12+3ln24.
Ajouter un commentaire