Devoir n°12 - Ts2

Classe: 
Terminale
 
 
(LSLL 2003)
 

Exercice 1

Les questions 1) et 2) sont indépendantes
 
1) Soit la fonction f définie sur R par :
 
f(x)=x2(1+x2)3+x2(1+x3)21+x3 
 
a) Justifier l'existence de primitives de f sur [0; +[.
 
b) Déterminer les réels a et b tels que : 
 
x2(1+x2)3+ax(1+x2)2+bx(1+x2)3. 
 
c) En déduire la primitive F de f sur [0; +[ qui s'annule en 0.
 
2) Soit la fonction g définie par :
 
g(x)=(cos3x+3cosx)cosx.
 
a) Déterminer les réels a, b et c tels que :
 
g(x)=a+bcos2x+ccos4x+dcos6x.
 
b) En déduire une primitive de g sur R
 
(Indication : cosα=12[cos(α+β)+cos(αβ)]).
 

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur R par :
 
f(x)=cos2x+2sinx.
 
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
 
1) a) Étudier la parité de f.
 
b) Montrer que f est périodique, de période 2π.
 
2) Montrer que C est symétrique par rapport à la droite d'équation x=2.
 
3) a) Calculer f(x).
 
b) Résoudre dans [π2; π2] l'inéquation : 12sinx>0.
 
c) En déduire les variations de f sur [π2; π2].
 
4) Tracer la courbe C sur [π2; 3π2].
 

Problème

Soit fonction f définie sur R par : 
{f(x)=|x2+3x|x+1si x0f(x)=xx+xsi x>0
 
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j).
 
1) Montrer que f a pour ensemble de définition R{1}.
 
2) Écrire f(x) sans le symbole de la valeur absolue.
 
3) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en zéro. 
 
Interpréter les résultats.
 
4) Préciser la nature des branches infinies de C.
 
5) Calculer f(x) dans les intervalles où f est dérivable
 
Dresser le tableau de variation de f.
 
6) Construire C.
 
7) Soit g la restriction de f à l'intervalle I=]0; +[
 
a) Montrer que g admet une bijection réciproque g1, définie sur un intervalle J à préciser.
 
b) g1 est-elle dérivable sur R ?
 
c) Expliciter g1(x).
 
d) Tracer la courbe représentative de g1 dans le repère (O, i, j).
 

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