Devoir n°12 - Ts2

 

 

(LSLL 2003)

 

Les questions 1) et 2) sont indépendantes

 

1) Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

 

$f(x)=\dfrac{x^{2}}{(1+x^{2})^{3}}+\dfrac{x^{2}}{(1+x^{3})^{2}\sqrt{1+x^{3}}}$ 

 

a) Justifier l'existence de primitives de $f\text{ sur }[0\;;\ +\infty[.$

 

b) Déterminer les réels $a\text{ et }b$ tels que : 

 

$\dfrac{x^{2}}{(1+x^{2})^{3}}+\dfrac{ax}{(1+x^{2})^{2}}+\dfrac{bx}{(1+x^{2})^{3}}.$ 

 

c) En déduire la primitive $F\text{ de }f\text{ sur }[0\;;\ +\infty[$ qui s'annule en 0.

 

2) Soit la fonction $g$ définie par :

 

$g(x)=(\cos 3x+3 \cos x)\cos x.$

 

a) Déterminer les réels $a\;,\ b\text{ et }c$ tels que :

 

$g(x)=a+b \cos 2x+c \cos 4x+d \cos 6x.$

 

b) En déduire une primitive de $g\text{ sur }\mathbb{R}$

 

(Indication : $\cos \alpha=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]).$

 

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

 

$f(x)=\cos 2x+2\sin x.$

 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

 

1) a) Étudier la parité de $f.$

 

b) Montrer que $f$ est périodique, de période $2\pi.$

 

2) Montrer que $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=2.$

 

3) a) Calculer $f'(x).$

 

b) Résoudre dans $\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ l'inéquation : $1-2\sin x>0.$

 

c) En déduire les variations de $f\text{ sur }\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

 

4) Tracer la courbe $\mathcal{C}\text{ sur }\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right].$

 

Soit fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : 

$$\left\lbrace\begin{array}{llllll} f(x)&=&\dfrac{|x^{2}+3x|}{x+1}&\text{si }x&\leq &0\\ \\ f(x)&=&\dfrac{x}{x+\sqrt{x}}&\text{si }x&> &0 \end{array}\right.$$

 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

1) Montrer que $f$ a pour ensemble de définition $\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$

 

2) Écrire $f(x)$ sans le symbole de la valeur absolue.

 

3) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en zéro. 

 

Interpréter les résultats.

 

4) Préciser la nature des branches infinies de $\mathcal{C}.$

 

5) Calculer $f'(x)$ dans les intervalles où $f$ est dérivable

 

Dresser le tableau de variation de $f.$

 

6) Construire $\mathcal{C}.$

 

7) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=]0\;;\ +\infty[$

 

a) Montrer que $g$ admet une bijection réciproque $g^{-1}$, définie sur un intervalle $J$ à préciser.

 

b) $g^{-1}$ est-elle dérivable sur $\mathbb{R}$ ?

 

c) Expliciter $g^{-1}(x).$

 

d) Tracer la courbe représentative de $g^{-1}$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$