Devoir N°13 TL

Une usine produit des chaussures pour enfants. 

 

On suppose qu'en l'an $2020$ sa production annuelle s'élève à$200 000$ paires de chaussures et que la production augmente de $5\%$ par an. 

 

On note $P_{n}$ le nombre de paires de chaussures fabriquées en l'an $(2020+n).$

 

1.a. Préciser $P_{0}$ puis calculer $P_{1}$ et $P_{2}$

 

b. Établir la relation entre $P_{n}$ et $P_{n+1}$

 

c. En déduire que la suite $\left(P_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q=1.05.$

 

d. Exprimer, pour tout entier $n$, $P_{n}$ en fonction de $n$

 

2. Quelle sera la production annuelle de l'usine en l'an $2030$ ?

On donne la série double :

 

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&50&100&60&120&120&100&150&160\\\hline y_{i}&15&20&15&30&25&25&40&35\\\hline \end{array}$$

 

1. Représenter le nuage de points $\left(x_{1}\ ;\ y_{i}\right)$

 

cette série statistique dans un repère orthogonal.

 

Échelle : abscisse  : $1\,cm$ pour $15$ ; en ordonnée : $1\,cm$ pour $5$

 

2. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ et le placer dans le repère. 

 

3. Calculer la variance de $X$, la variance de $Y$ et la covariance de $X$ et $Y.$ 

 

4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ entre $X$ et $Y$ puis interpréter le résultat. 

 

5. Donner une équation de la droite de régression de $Y$ en $X.$

 

Estimer $Y$ si $x=200$

Soit $f$ la fonction définie par :

 

$$f(x)=\dfrac{x^{2}}{1-x}$$

 

Et $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ 

 

1. Déterminer $\mathcal{D_{f}}$ l'ensemble de définition de $f.$

 

2. Calculer les limites suivantes :

 

$\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}f(x)$ ;

 

$\lim\limits_{x\longrightarrow 1^{-}}f(x)$ ;

 

$\lim\limits_{x\longrightarrow 1^{+}}f(x)$ et

 

$\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}f(x)$

 

3. En déduire l'équation de l'asymptote verticale à $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$

 

4. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $D_{f}$ et étudier son signe. 

 

5. Dresser le tableau de variation de $f.$

 

6.a. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x\in\mathcal{D_{f'}}$

 

$$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{1-x}$$

 

Monter que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-x-1$ est asymptote oblique à $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ en $-\infty$ et en $+\infty$

 

c. Étudier la position relative de  $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et de $(\mathfrak{D})$

 

7. Montrer que le point $I\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}$ est un centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$

 

8. Donner une équation de la tangente $\left(\mathcal{T}\right)$ à $\left(\mathfrak{C_{f}}\right)$ au point d'abscisse $O$

 

9. Construire $\left(\mathfrak{C_{f}}\right)$ et ses asymptotes.