Devoir n°13 - Ts1

 

Les parties A et B sont indépendantes.

 

Partie A :

 

1) Énoncer les théorèmes des accroissements finis et de Rolle. 

 

2) Démontrer le théorème des accroissements finis. 

 

Partie B :

 

3) a) Établir pour tout $x\geq 1$, les inégalités $-\dfrac{3}{2}+2x-\dfrac{x^{2}}{2}\leq\ln x\leq x-1.$

 

b) Déduire $\forall\;a>0\;,\text{ on a : }a-\dfrac{a^{2}}{2}<\ln(1+a)<a.$

 

2) Soit la suite définie par : $$\ln\left(P_{n}\right)=\sum_{k=l}^{n}\ln\left(1+\dfrac{k}{n{2}}\right)\text{ avec }(n\neq 0)$$

 

a) En utilisant les inégalités de 1) b) déduire la limite de $\ln\left(P_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$

 

Rappel : $$\sum_{k=l}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

 

b) Préciser alors la limite de $P_{n}.$ 

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1\;,\ 1]\setminus{0}\text{ par }(x)=1+\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}.$ 

 

1) Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow\;0^{+}}\;f(x)\text{ et }\lim\limits_{x\longrightarrow\;0^{-}}\;f(x)$, interpréter les résultats obtenues.

 

2) Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$, puis en $-1$ et interpréter les résultats. 

 

3) Montrer que $\forall\;x\in\;]-1\ ;\ 1[\setminus{0}\;,\ f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}.$

 

4) Montrer que $f$ réalise une bijection de $]0\ ;\ 1[$ vers un intervalle $J$ que l'on précisera.

 

5) Expliciter $f^{-1}.$ 

Partie A :

 

Soit la fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x^{2}}{1+x{2}}.$

 

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).$

 

1) Étudier $f$ et construire sa courbe $(\mathcal{C}).$

 

2) 2-a) Montrer que $f$ admet une bijection réciproque $g$ définie sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

 

b-) Construire la courbe de $g$ notée $\left(\mathcal{C}^{\prime}\right)$ dans le même repère $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).$ 

 

3) Montrer que $\forall\;x\in\;[0\ ;\ 2[\;,\ g(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2-x}}.$ 

 

Partie B :

 

Soit la fonction $h$ définie sur $[0\ ;\ \pi[$ par $h(x)=g(1-\cos x).$

 

1) Montrer que pour tout $x$ de $[0\ ;\ \pi[$, on a : $h(x)=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right).$ 

 

2) Montrer que $h$ réalise une bijection de $[0\ ;\ \pi[$ sur un intervalle $K$ que l'on déterminera.

 

3) Montrer que $h^{-1}$ est dérivable sur $K$ et que $\left(h^{-1}\right)^{\prime}(x)=\dfrac{2}{1+x^{2}}.$ 

 

4) Soit la fonction $\varphi$ définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ par $\left\lbrace\begin{array}{lcl} \varphi(x)&=&h^{-1}\left(\dfrac{1}{x}\right)\\\varphi(0)&=&\pi \end{array}\right.$

 

a-) Montrer que $\varphi$ est continue à droite de $0.$ 

 

b-) Étudier la dérivabilité de $\varphi$ sur $]0\ ;\ +\infty[$ et calculer $\varphi^{\prime}(x).$ 

 

c-) Montrer que pour tout $x\in\;]0\ ;\ +\infty[$, il existe un réel $c\in\;]0\ ;\ x[$ tel que : $\dfrac{\varphi(x)-\pi}{x}=\dfrac{-2}{1+c^{2}}.$

 

d-) Montrer que $\varphi$ est dérivable à droite en $0.$ 

 

5) Soit la suite $\left(U_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $$U_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{1+k^{2}}.$$

 

a-) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que $p\in\mathbb{N}$, on a : $$\dfrac{2}{1+(1+p)^{2}}\leq h^{-1}(p+1)-h^{-1}(p)\leq\dfrac{2}{1+p^{2}}.$$

 

b-) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : $$\dfrac{1}{2}h^{-1}(n)+\dfrac{1}{1+n^{2}}\leq U_{n}\leq\dfrac{1}{2}h^{-1}(n)+1.$$

 

c-) Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est convergente et donner un encadrement de sa limite. 

 

6) a-) Montrer que pour tout $x>0$, on a : $\varphi(x)=\pi-h^{-1}(x).$

 

b-) En déduire que $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ est l'image de $\left(\mathcal{C}_{hç{-1}}\right)$ par une isométrie que l'on caractérisera.