Devoir n°14 - Ts2

 

 

(SANKORE 2006)

 

Coumba et Amadou font partie d'une assemblée de 15 hommes et 10 femmes.

 

Cette assemblée doit choisir six de ses membres pour constituer un comité.

 

1) Dénombrer les choix possibles pour constituer ce comité.

 

2) Dénombrer les comités :

 

a) contenant Coumba; b) contenant Amadou ; c) contenant Coumba et Amadou d) contenant Coumba et Amadou

 

3) Si Coumba et Amadou refusent de siéger dans un même comité, déterminer le nombre de choix possibles.

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

Soit la fonction $f$ définie par : 

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llll} x-1+\dfrac{1}{x} & \text{si }\ x & \leq & 1 \\ \\ 1-(\ln x)^{2} & \text{si }\ x & > & 1 \end{array}\right.$$

 

1) a) Démontrer que $f$ est continue en 1.

 

b) $f$ est-elle dérivable en 1 ?

 

c) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$ et préciser les branches infinies de $\mathcal{C}_{f}.$

 

d) Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.

 

e) Démontrer que le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_{f}.$

 

f) Tracer $\mathcal{C}_{f}$ et son asymptote.

 

2) Soit $h$ la restriction de $f\text{ à }]1\;;\ +\infty[.$

 

a) Démontrer que $h$ réalise une bijection de $]1\;;\ +\infty[$ vers un intervalle à préciser.

 

b) En déduire que $h$ admet une fonction réciproque dont on précisera le sens de variation.

 

c) Tracer la courbe de $h^{-1}$ dans le même repère.