Devoir n°18 - Ts1

 

Pour chacun des items de ce questionnaire à choix multiples $(QCM )$, trois réponses sont proposées.

 

L'élève indiquera sur sa copie, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. 

 

Aucune justification n'est demandée.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline N°&\text{items}&\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}\\\hline 1&\text{La fonction : }x\mapsto\dfrac{1}{x}&]-\infty\;,\ +\infty[&\mathbb{R}^{\ast}&]-\infty\;,\ 0[\\&\text{admet des primitives sur}&&&\\\hline 2&\lim\limits_{x\longrightarrow\;0^{-}}\dfrac{\sin 4x}{x^{2}}=&0&4&-\infty\\ \hline 3&\text{Si }f\text{ est continue et décroissante sur }[2\;,\ 5]&f(2)=3\text{ et }f(5)=1&f(2)=1\text{ et }f(5)=3&1<f(2)<5\\ &\text{telle que }f\left([2\;,\ 5]\right)=[1\;,\ 3]\text{ alors}&&&\\ \hline 4&\text{La primitive sur }\mathbb{R}\text{ de la fonction}&&&\\x\mapsto\;x\cos x\;,&x\mapsto\dfrac{x^{2}}{2}\sin x+1&x\mapsto\;x\sin x+\cos x&x\mapsto\;\cos x-\sin x\\ \text{qui prend la valeur 1 en 0 est :}\\ \hline 5&\text{Si }f\text{ est continue sur }[-2\;,\ 5]\text{ telle que}&\text{n'admet pas de}&\text{admet au moins}&\text{admet exactement}\\ &f(-2)=3\text{ et }f(5)=-2&\text{solution dans}&\text{une solution dans}&\text{une solution dans}\\ &\text{alors l'équation }f(x)=-1&[-2\;,\ 5]&[-2\;,\ 5]&[-2\;,\ 5]\\\hline \end{array}$$

Calculer les limites éventuelles suivantes :

 

1. $\lim\limits_{x\longrightarrow-\dfrac{\pi}{4}}\;\dfrac{\sin x+\cos x}{4x+\pi}$

 

2. $\lim\limits_{x\longrightarrow-\dfrac{\pi}{3}}\;\dfrac{\tan 3x}{x^{2}+2x-3}$

 

3. $\lim\limits_{x\longrightarrow\;-3}\;\dfrac{\sin(x+3)}{x^{2}+2x-3}$

Trouver une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle indiqué.

 

1) $f(x)=\dfrac{\tan x}{\cos x}\qquad I=\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$

 

2) $f(x)=\cos^{4}x\sin^{2}x\qquad I=]-\infty\ ;\ +\infty[$

 

3) $f(x)=\dfrac{1}{\tan 2x}\qquad I=\left]-\dfrac{\pi}{4}\ ;\ 0\right[$

 

4) $f(x)=2\sin x+\cos^{2}x\qquad I=\mathbb{R}$

 

5) $f(x)=\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}}\qquad I=\mathbb{R}$

Soit une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f(1)=0$ et $f^{\prime}(1)=-1.$ 

 

La courbe de $f$ admet une asymptote d'équation $y=3$ en $-\infty$ et une asymptote d'équation $y=x+4$ en $+\infty$

 

1. Calculer les limites suivantes.

 

a. $\lim\limits_{x\longrightarrow\;0}f\left(\dfrac{x-1}{x^{2}}\right)$

 

b. $\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{f(x)}{x+f(x)}$

 

c. $\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{f(x)-x+3}$

 

2. En utilisant le changement de variable $X=1+\dfrac{1}{x}$, calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\;xf\left(1+\dfrac{1}{x}\right).$