Devoir n°19 - Ts1

 

1. Soit $\theta\in[0\;,\ \pi].$

 

a) Vérifier que $\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\theta}-\left(2\mathrm{i}\sin\theta\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=1$

 

b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2}-2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z+\left(2\mathrm{i}\sin\theta\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=0.$ 

 

En déduire les écritures sous forme exponentielle des solutions de cette équation.

 

2. Soit $$P(z)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k}$$ un polynôme complexe tel que $a_{k}\in\mathbb{R}$ pour tout $k\in{0\;,\ldots\;,\ n}.$

 

Démontrer que si $z_{0}$ est une racine de $P$ alors $\overline{z_{0}}$ l'est aussi. 

 

3. Soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ S_{n}=\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)+\ldots+\sin\left(\dfrac{(n-1)\pi}{n}\right).$

 

On pose $z=\cos\left(\dfrac{\pi}{n}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$

 

a. Donner une expression simple de $A=1+z+\ldots+z^{n-1}$ 

 

b. Calculer $\Re(A)\text{ et }\Im(A).$ 

 

c. Déduisez-en que $S_{n}=\dfrac{1}{\tan\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)}.$ 

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl}x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\text{ si }x&>&0\\1\text{ si }x&=&0\\x\ E\left(\dfrac{1}{x}\right)\text{ si }x&<&0 \end{array}\right.$

 

1. Étudier la continuité de $f$ en $0$

 

2. Calculer $\lim\limits_{|x|\longrightarrow +\infty}\;f(x)$

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ par $f(x)=\sin^{2}x$ 

 

1. Montrer que $f$ admet une bijection réciproque $\varphi=f^{-1}.$

 

2. Prouver que $\varphi$ est dérivable sur un intervalle $K$ (à préciser) et que pour tout $x\in\;K\;,\ \varphi^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-x^{2}}}$

 

3. Justifier que $\varphi^{\prime}$ est dérivable sur $K$ et que pour tout $x\in\;K\text{ et }\varphi''(x)+(2-4x)\left[\varphi^{\prime}(x)\right]^{3}=0$ 

 

4. (En utilisant la dernière égalité de 2), montrer que la courbe de $\varphi$ admet un point d'inflexion que l'on précisera.