Devoir n°19 - Ts2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(\cos x)(\cos2x).$ 

 

1) Résoudre dans $[–\pi\;;\ \pi]$ l'équation $f(x)=0.$    

 

2) Calculer $f'(x)$ et déterminer le sens de variation de $f$ sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ en prenant pour unité $4\;cm.$ 

 

3)Préciser les tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ aux points d'abscisses 0 et $\dfrac{\pi}{4}.$  

 

4) En utilisant les formules d'Euler, linéariser $f(x).$  

1)Donner l'écriture exponentielle du nombre complexe $1+\mathrm{i}.$ 

 

2)Soit $z=\alpha^{\;\mathrm{i}\theta}$ avec $\alpha\in\;]0\;;\ +\infty[$ et $\theta\in\;[0\;;\ 2\pi].$     

    

a) Calculer $z^{2}$ et $(1+\mathrm{i})\overline{z}$ en fonction de $\alpha$ et $\theta.$     

 

b) En déduire la valeur  $r$ de $\alpha$  et les valeurs $\theta_{0}\;,\ \theta_{1}$ et $\theta_{2}$ pour lesquelles on a l'égalité :

 

$$z^{2}=(1+\mathrm{i})\overline{z}$$

 

3) On note respectivement $z_{0}\;,\ z_{1}$ et $z_{2}$ les nombres complexes de module $r$ et d'arguments $\theta_{0}\;,\ \theta_{1}$ et $\theta_{2}.$

 

Soient $A_{1}$ et $A_{2}$ les points du plan complexe d'affixes $z_{1}-z_{0}$ et $z_{2}-z_{0}.$  

 

a) Calculer sous forme trigonométrique $Z=\dfrac{z_{2}-z_{0}}{ z_{1}-z_{0}}.$

       

b) En déduire la nature du triangle $OA_{1}A_{2}.$  

On considère le polynôme complexe $P(z)$ défini :

 

$P(z)=z^{3}-(6-2\mathrm{i})z^{2}+(10+4\mathrm{i})z-16-4\mathrm{i}$,  

 

1) Montrer que l'équation $P(z)=0$ admet une solution imaginaire pure $z_{0}.$ 

 

2) Déterminer le polynôme $Q$ tel que :

 

$\forall\;z\in\mathcal{C}\;,\ P(z)=(z-z_{0})Q(z).$  

 

3) Résoudre dans $\mathcal{C}$ l'équation $P(z)=0$.

 

On notera $z_{0}\;,\ z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions avec $|z_{1}|<|z_{2}|.$ 

 

4) Donner l'écriture trigonométrique de chacune de ces solutions. 

 

5) Placer les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{0}\;,\ z_{1}$ et $z_{2}$ dans le plan complexe de repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, puis Calculer l'affixe du barycentre $G$ des points $A\;,\ B$ et $C$ affectés des coefficients 2, 1 et 1.  

A) Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{x+1}{2x+1}-\ln x.$ 

 

1) Étudier les variations de $g$

 

2) a) Calculer $g(1)$ et $g(2).$

 

Montrer que  l'équation $g(x)=0$ a une solution unique $\alpha$ dans $]0\;;\ +\infty[.$  

   

b) Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}.$

 

B) Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2\ln x}{x^{2}+x}.$

 

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

(unité graphique : $2\;cm$ sur $x'x$ et $4\;cm$ sur $y'y)$

 

1) Étudier les limites de $f$ en 0 et en $+\infty.$

 

Interpréter graphiquement les résultats.

 

2) a) Montrer que pour tout $x\in\;]0\;;+\ \infty[\;,\ f'(x)=\dfrac{2(2x+1)}{(x^{2}+x)^{2}}g(x).$    

 

b) En déduire les variations de $f.$ 

      

c) Démontrer que $f(\alpha)=\dfrac{2}{\alpha(2\alpha+1)}$, puis construire $\mathcal{C}.$