Devoir n°3 Ts2

 

Déterminer les primitives, en précisant sur quel(s) intervalle(s) elles sont définies, des fonctions suivantes :

 

$1)\ f\ :\ x\mapsto-x^{3}+2x-1\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\cos 2x-2\sin2x\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^{3}}$

 

$4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{-x}{(x^{2}+1)^{3}}\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x+3}{\sqrt{x^{2}+6x+2}}\quad 6\ f\ :\ x\mapsto\sin^{3}x\cos x$

 

$7)\ f\ :\ x\mapsto-\dfrac{\sin3x}{\cos^{2}3x}\quad 8)\ f\ :\ \dfrac{1+\tan^{2}x}{\tan^{3}x}\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto\left(\dfrac{-2x}{x^{4}+1}\right)^{3}$

 

$10)\ f\ :\ x\mapsto -\dfrac{1}{x^{2}}\cos\dfrac{1}{x}$

Dans un groupe d'élèves, on sait que les deux cinquièmes aiment les mathématiques, deux tiers aiment la philosophie, un cinquième n'aime aucune des deux matières et 144 aiment les deux.

 

De combien d'élèves est constitué le groupe ?

 

Indication :
on pourra désigner par $n$ le nombre des élèves, $M$ l'ensemble des élèves qui aiment les mathématiques,$P$ l'ensemble de ceux qui aiment la philosophie et établir une relation entre cardinaux d'ensembles vérifiée par $n$

Déterminer les limites éventuelles en $x_{0}$ des fonctions suivantes au point indiqué :

 

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin(2x-\pi)}{\tan^{2}(2x-\pi)}\ x_{0}=\dfrac{\pi}{2}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin6x}{2\cos x-\sqrt{3}}\ x_{0}=\dfrac{\pi}{6}$

 

$3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan x}{\sin2x-1}\ x_{0}=\dfrac{\pi}{4}\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)-\tan x}{1-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)}\ x_{0}=\dfrac{\pi}{4}$

 

On posera dans chaque cas $u=x-x_{0}$ pour se ramener à une limite en 0 et on utilisera les formules de trigonométrie.

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ par :

$$f(x)= x-\cos x$$

 

1) Montrer que $f$ est une bijection de $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ sur un ensemble $J$ que l'on précisera.

 

2) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution et une seule $\gamma$ comprise entre $\dfrac{\pi}{6}\text{ et }\dfrac{\pi}{4}$