Devoir n°3 - Ts2
Classe:
Terminale
Ce devoir consiste en un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, il y a plusieurs réponses proposées dont une seule est exacte.
L'élève devra cocher au crayon la réponse qui lui semble correcte.
Toute réponse correcte rapporte 1 point.
Toute réponse erronée ou multiple sera sanctionnée par le retrait d'un quart de point (0.25 pt).
Une absence de réponse ne rapporte pas de point et n'est pas pénalisée.
1) Soit $(u_{n})$ la suite définie par :
$u_{n}=\dfrac{\cos(n\pi)}{(-1)^{n}}$
a) $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=-\infty$
b) $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty$
c) $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=0$
d) $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}\text{ n'existe pas}$
2) $I=\int_{1}^{2}\dfrac{6x^{2}+4x}{x^{3}+x^{2}-1}\mathrm{d}x$
a) $I=2\ln 11\quad \text{b) }I=-\dfrac{1}{11}$
c) $I=\ln 11\quad \text{d) }I=\dfrac{1}{2}\ln 11$
e) une autre réponse
3) $I=\int_{1}^{2}x\cos(2x)\mathrm{i}x$
a) $I=-\dfrac{1}{2}\quad \text{b) }I=-1$
c) $I=\dfrac{1}{2}\quad \text{d) }I=\dfrac{1}{4}\quad \text{e) }I=-8$
4) Soit $z=\dfrac{\mathrm{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)^{4}}{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}$
a) $z=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}\quad \text{b) }z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{17\pi}{12}}$
c) $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}\quad \text{d) }z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}$
e) $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{11\pi}{12}}$
5) Soit $z=(1+\cos\theta)-\mathrm{i}\sin\theta$ avec $\theta\in\;]-\pi\;;\ \pi[$
a) $arg\;z=-\dfrac{\theta}{2}+2k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}$
b) $arg\;z=\dfrac{\theta}{2}+2k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}$
c) $arg\;z=\theta+2k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}$
d) $arg\;z=2k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}$
e) $arg\;z=-\theta+2k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}$
6) On tire au hasard une boule dans une urne contenant $N$ boules numérotées de 1 à $N.$, avec $N\geq 2.$On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le numéro de la boule tirée.
Soit $E(X)$ l'espérance mathématique de $X.$
a) $E(X)=1\quad \text{b) }E(X)=\dfrac{N+1}{2}$
c) $E(X)=N+1\quad \text{d) }E(X)=\dfrac{1}{N}$
e) $E(X)$ prend une autre valeur.
7) $f$ est fonction définie par : $f(x)=\mathrm{e}^{\tan 2x}.$
a) $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-4\mathrm{e}^{\sqrt{3}}$
b) $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\mathrm{e}^{\sqrt{3}}$
c) $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2\mathrm{e}^{\sqrt{3}}$
d) $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=4\mathrm{e}^{\sqrt{3}}$
e) $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=8\mathrm{e}^{\sqrt{3}}$
8) Soit $X$ la variable aléatoire de loi de probabilité :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i}&1&a&b\\ \hline p_{i}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}\\ \hline \end{array}$$
On note $E(X)$ l'espérance mathématique de $X$ et $V(X)$ sa variance.
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $E(X)=1$ et $V(X)=2.$
a) $a=-1$ et $b=3$
b) $a=-3$ et $b=1$
c) $a=-2$ et $b=4$
d) $a=1$ et $b=1$
9) $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}x\mathrm{d}x$
a) $I=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{2}\quad \text{b) }I=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}$
c) $I=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{4}\quad \text{d) }I=-\dfrac{\sqrt{2}}{12}$
e) $I=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$
10) Un groupe de 500 personnes est constitué de 200 hommes et 300 femmes.
Parmi les hommes, 150 ont plus de 30 ans et parmi les femmes, 200 ont plus de 30 ans.
On choisit au hasard une personne du groupe.
Sachant que cette personne est un homme, quelle est la probabilité pour qu'il ait plus de 30 ans ?
a) $\dfrac{3}{4}$
b) $\dfrac{2}{5}$
c) $\dfrac{3}{7}$
d) $\dfrac{7}{10}$
e) $\dfrac{3}{10}$
11) Les suites de termes général $u_{n}$ suivantes convergent vers 3.
a) $u_{n}=3n\ln\left(1+\dfrac{3}{n}\right)$
a) $u_{n}=3 n\ln\left(1+\dfrac{3}{n}\right)$
b) $u_{n}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}+\dfrac{9 n-1}{3 n+4}$
c) $(-3)^{n}+3.$
12) La somme définie par $S=a^{2}+a^{3}+\cdots+a^{n+2}(a\neq 1)$ vaut :
a) $\dfrac{1-a^{n+2}}{1-a}$
b) $\dfrac{a^{2}(a^{n+1}-1)}{a-1}$
c) $\dfrac{a(1-a^{n})}{1-a}$
La somme définie par $S=2+3+\cdots+(n+1)$ vaut :
a) $\dfrac{n(n+3)}{2}$
b) $\dfrac{(n+1)(n+3)}{2}$
c) $\dfrac{n(n+2)}{2}$
14) Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{1}{1-4^{x}}-\dfrac{1}{2}$
a) $f$ est paire
b) $f$ est impaire
c) $f$ n'est ni paire impaire
15) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :
$\mathrm{i}z^{2}+(1-5\mathrm{i})z+6\mathrm{i}-2=0$
a) $(z_{1}=-2\;;\ z_{2}=-3-\mathrm{i})$
b) $(z_{1}=-2\;;\ z_{2}=-3+\mathrm{i})$
c) $(z_{1}=2\;;\ z_{2}=-3-\mathrm{i})$
16) $I=\int_{0}^{x}t^{2}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t$
a) $I=-x^{2}\mathrm{e}^{-x}-2x\mathrm{e}^{-x}-2+2\mathrm{e}^{-x}$
b) $I=-x\mathrm{e}^{-x}-2x\mathrm{e}^{-x}+2-2\mathrm{e}^{-x}$
c) $I=-x^{2}\mathrm{e}^{-x}-2x\mathrm{e}^{-x}-2-2\mathrm{e}^{-x}$
17) Soit le nombre complexe $z=(3+2\mathrm{i})+\mathrm{i}(2+3\mathrm{i})$
a) $\overline{z}=(3+2\mathrm{i})-\mathrm{i}(2+3\mathrm{i})$
b) $\overline{z}=(3-2\mathrm{i})-\mathrm{i}(2-3\mathrm{i})$
c) $\overline{z}=z$
18) $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3^{-x}.$
a) $f'(x)=-x 3^{-x-1}$
b) $f'(x)=(-\ln 3)f(x)$
c) $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
19) Soit la fonction définie sur $\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ par $$f(x)=\ln\left(\dfrac{1}{\sin^{3}x}\right)$$
c) $f'(x)=\dfrac{-3}{\tan x}$
b) $f'(x)=-\dfrac{1}{\sin^{3}x}$
c) $f'(x)=-3\tan x$
20) Soit la suite $(u_{n})$ telle que $u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n!}$
a) $(u_{n})$ est divergente
b) $(u_{n})$ est convergente
c) $(u_{n})$ est monotone
$$\text{Durée : 4h}$$
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