Devoir n°33 - Ts2
Classe:
Terminale
Restitution des connaissances
1) Soit f : M(z)→M′(z′) une transformation du plan.
a) Donner une relation entre z et z′ pour que f soit une similitude directe.
b) On suppose que z′=az+b avec a et b deux nombres complexes tels que :
a∉R et |a|≠1. Donner la nature et les éléments caractéristiques de f.
2) Énoncer le théorème des Gendarmes.
3) Énoncer le théorème des Inégalités des Accroissement Finis avec valeur absolue.
Exercice 1
1) Soit (E) : z3+(−3−2i)z2+(7+8i)z+11+10i=0
a) Déterminer la solution réelle de l'équation (E)
b) En déduire les autres solutions de l'équation (E)
2) On considère dans le plan complexe les points A, B et C d'affixes respectives −1, 3−2i et 1+4i
a) Placer les points A, B et C.
b) Déterminer le module et un argument de zC−zAzB−zA.
c) En déduire la nature du triangle ABC. (Justifier votre réponse)
3) Soit s la similitude directe de centre A et qui transforme B en C.
a) Déterminer l'écriture complexe de s.
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de s.
c) Déterminer l'image par s du triangle ABC.
Exercice 2
1) Résoudre dans R l'inéquation : 2(lnx)3−3(lnx)2−3lnx+2≤0
2) Calculer limx→0ln(1+3x)2x (on pourra poser u=3x)
3) Déterminer la primitive qui s'annule en 1 de f : x→5lnx3x
Problème
On considère la fonction f définie par f : x→{f(x)=xln(−x)−x+1si x<0f(x)=1+ln(x+1)si x≥0
et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) a) Déterminer le domaine de définition Df de f.
b) Calculer les limites aux bornes de Df.
c) Étudier les branches infinies de (Cf)
2) a) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
b) Interpréter graphiquement les résultats.
3) a) Étudier les variations de f.
b) Montrer que dans ]−∞; 0[ l'équation f(x)=0 admet une unique solution α et que −4<α<−3
c) Déterminer les points de rencontre de (Cf) avec l'axe des abscisses.
4) a) Montrer que dans [0; +∞[ l'équation f(x)=0 admet une unique solution β et que 1<β<3. On pourra étudier h : x→f(x)−x
b) Montrer que sur [0; +∞[ on a : 0≤f′(x)≤12
c) En appliquant les Inégalités des Accroissements finis, montrer que |f(x)−β|≤12|x−β|.
5) Soit g la restriction de f à [0; +∞[. On définit la suite (un) par :
{u0=1un+1=g(un),∀n≥0
a) Montrer que la suite (un) est croissante et un≥1, ∀n≥0
b) En déduire que : |un+1−β|≤12|un−β|, ∀n≥0
c) Montrer alors que : |un−β|≤(12)n|u0−β|, ∀n≥0
d) Déterminer le plus petit entier p, si possible, tel que |up−β|≤10−1
On remarquera que |u0−β|≤2
Auteur:
Babacar Djité
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