Devoir n°34 - Ts2

Soit $S$ la transformation du plan complexe muni d'un repère orthonormé, d'écriture complexe :

 

$z'=(1+\mathrm{i})z+2\mathrm{i}.$ $A$ le point d'affixe -2 et $B$ celui d'affixe -1.

1) Donner la nature et les éléments caractéristiques de $S.$

 

2) Déterminer l'affixe du point $C$ l'image du point $B$ par la transformation $S.$

 

3) En déduire la nature du triangle $ABC.$

Soit la suite $(z_{n}$ définie par $$\left\lbrace\begin{array}{lll} z_{0} &=& -1 \\ \\ z_{n+1} &=& (1+\mathrm{i})z_{n}+2\mathrm{i}\end{array}\right.$$

1) Calculer $z_{1}$ et $z_{2}.$

2) On considère la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{n}=z_{n}+2.$

 

a) Montrer que la suite $(u_{n})$  est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

 

b) En déduire une expression de $z_{n}$ en fonction de $n.$

 

3) Soit $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}.$

 

a) Construire les points $M_{n}$ pour $n$ variant de 0 à 8.

 

b) Pour quelles valeurs de $n$ les points $M_{n}$ sont-ils à l'intérieur du cercle de centre $A$ et de rayon 5.

 

c) Démontrer que $\dfrac{z_{n+1}+2}{z_{n}+2}=1\mathrm{i}$ et en déduire la nature du triangle $AM_{n}M_{n+1}$

Une entreprise a mis au point un nouveau produit et cherche à en fixer le prix de vente.

 

Une enquête est réalisée auprès des clients potentiels ; les résultats sont donnés dans le tableau suivant où$y_{\mathrm{i}}$ représente le nombre dexemplaires du produit que les clients sont disposés à acheter si le prix de vente, exprimé en milliers de francs est $x_{\mathrm{i}}$

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{\mathrm{i}} & 60 & 80 & 100 & 120 & 140 & 160 & 180 & 200 \\\hline y_{\mathrm{i}} & 952 & 805 & 630 & 522 & 510 & 324 & 205 & 84 \\ \hline\end{array}$$

 

On appelle $X$ la variable statistique dont les valeurs sont $x_{\mathrm{i}}$  et $Y$ celle dont les valeurs sont les $y_{\mathrm{i}}$

 

1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $Y$ et $X.$ La valeur trouvée justifie-telle la recherche d'un ajustement linéaire ?

 

2) Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X.$

 

3) Les frais de conception du produit se sont élevés à 28 millions de francs) Le prix de fabrication de chaque produit est de 25.000 francs.

 

a) Déduire de la question précédnte que le bénéfice $z$ en fonction du prix de vente $x$

est donné par l'égalité :

 

$z=-5.95x^{2}+1426.25x-59937.5$ où $x$ et $z$ sont exprimés en milliers de francs.

 

b) Déterminer le prix de vente $x$ permettant de réaliser un bénéfice maximum et calculer ce bénéfice.

 

NB : Prendre 2 chiffres après la virgule sans arrondir

 

Rappel : Bénéfice=Prix de vente-Prix de revient

Soit l'équation différentiell : $y''-2y'+2y=2-4x+2x^{2}.$

 

1) Trouver $g$ une fonction polynôme du second degré solution de $(E).$

 

2) Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y-g$ est solution de l'équation différentielle $(E_{1})$: $y''-2y'+2y=0$

 

3) En déduire les solutions de $(E).$

 

4) Trouver la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe représentative passe par l'origine du repère et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation $y=x$

 

5) A l'aide d'une intégration par partie, calculer $I=\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{x}\sin\;x\mathrm{d}x.$

 

6) Retrouver le calcul de l'intégral ci-dessus à l'aide de $f.$

On considère la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par

 

$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& x^{2}\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right) & \text{si }\;& x>0 \\ \\ f(x) &=& x\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} & \text{si }\; & x<0 \\ \\ f(0) &=& 0\end{array}\right.$$

 

1) Prouver que la fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}.$

 

2) Etudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en 0 puis sur $\mathbb{R}$

 

3) Soit $g$ la restriction de $f$ sur $[0\;;\ +\infty[$

 

a) Etudier les branches infinies de $g.$

 

b) Montrer que pour $x>0$ on a : $g'(x)=xu(x)$ avec $u(x)=2\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)-\dfrac{1}{x+1}$

 

c) En étudiant les variations de la fonction $u$, montrer que $u(x)$ est strictement positif sur l'intervalle $[0\;;\ +\infty[$

 

d) En déduire que $g$ est une bijection de l'intervalle $I=[0\;;\ +\infty[$ vers un intervalle $J$ que l'on précisera.

 

La réciproque de $g$ est-elle dérivable en 0.

 

e) Construire la courbe de $g$ et celle de sa réciproque dans un même repère orthonormé 

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$