Devoir n°34 - Ts2
Classe:
Terminale
Exercice 1
Soit S la transformation du plan complexe muni d'un repère orthonormé, d'écriture complexe :
z′=(1+i)z+2i. A le point d'affixe -2 et B celui d'affixe -1.
Partie A
1) Donner la nature et les éléments caractéristiques de S.
2) Déterminer l'affixe du point C l'image du point B par la transformation S.
3) En déduire la nature du triangle ABC.
Partie B
Soit la suite (zn définie par {z0=−1zn+1=(1+i)zn+2i
1) Calculer z1 et z2.
2) On considère la suite (un) définie par : un=zn+2.
a) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) En déduire une expression de zn en fonction de n.
3) Soit Mn le point d'affixe zn.
a) Construire les points Mn pour n variant de 0 à 8.
b) Pour quelles valeurs de n les points Mn sont-ils à l'intérieur du cercle de centre A et de rayon 5.
c) Démontrer que zn+1+2zn+2=1i et en déduire la nature du triangle AMnMn+1
Exercice 2
Une entreprise a mis au point un nouveau produit et cherche à en fixer le prix de vente.
Une enquête est réalisée auprès des clients potentiels ; les résultats sont donnés dans le tableau suivant oùyi représente le nombre dexemplaires du produit que les clients sont disposés à acheter si le prix de vente, exprimé en milliers de francs est xi
xi6080100120140160180200yi95280563052251032420584
On appelle X la variable statistique dont les valeurs sont xi et Y celle dont les valeurs sont les yi
1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de Y et X. La valeur trouvée justifie-telle la recherche d'un ajustement linéaire ?
2) Déterminer l'équation de la droite de régression de Y en X.
3) Les frais de conception du produit se sont élevés à 28 millions de francs) Le prix de fabrication de chaque produit est de 25.000 francs.
a) Déduire de la question précédnte que le bénéfice z en fonction du prix de vente x
est donné par l'égalité :
z=−5.95x2+1426.25x−59937.5 où x et z sont exprimés en milliers de francs.
b) Déterminer le prix de vente x permettant de réaliser un bénéfice maximum et calculer ce bénéfice.
NB : Prendre 2 chiffres après la virgule sans arrondir
Rappel : Bénéfice=Prix de vente-Prix de revient
Exercice 3
Soit l'équation différentiell : y″−2y′+2y=2−4x+2x2.
1) Trouver g une fonction polynôme du second degré solution de (E).
2) Montrer que y est solution de (E) si et seulement si y−g est solution de l'équation différentielle (E1): y″−2y′+2y=0
3) En déduire les solutions de (E).
4) Trouver la solution f de (E) dont la courbe représentative passe par l'origine du repère et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation y=x
5) A l'aide d'une intégration par partie, calculer I=∫π0exsinxdx.
6) Retrouver le calcul de l'intégral ci-dessus à l'aide de f.
Exercice 4
On considère la fonction f de R vers R définie par
{f(x)=x2ln(x+1x)si x>0f(x)=xe1xsi x<0f(0)=0
1) Prouver que la fonction f est bien définie sur R.
2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 puis sur R
3) Soit g la restriction de f sur [0; +∞[
a) Etudier les branches infinies de g.
b) Montrer que pour x>0 on a : g′(x)=xu(x) avec u(x)=2ln(x+1x)−1x+1
c) En étudiant les variations de la fonction u, montrer que u(x) est strictement positif sur l'intervalle [0; +∞[
d) En déduire que g est une bijection de l'intervalle I=[0; +∞[ vers un intervalle J que l'on précisera.
La réciproque de g est-elle dérivable en 0.
e) Construire la courbe de g et celle de sa réciproque dans un même repère orthonormé
(O, →i, →j)
Auteur:
Babacar Djité
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