Devoir n°4 - Ts2
Classe:
Terminale
Exercice 1
1) Déterminer la limite à droite et à gauche, en 0 de la fonction f telle que
f(x)=1−cosxx2−2x|x|f(x)=1−cosxx2−2x|x|
2) a) Montrer que sur R∗ on a : 3≤4−sin1x≤5
b) Etudier la limite, à droite et à gauche, en 0, de la fonction f :
x↦4−sin1xx
Exercice 2
Déterminer limite, pour x↦+∞ et pour x↦−∞, de la fonction f dans les cas suivants :
1) f : x↦x3−5x4+1sin2x2.
Indication :
Procéder par comparaison.
2) f : x↦x−√x2+x+23x−√9x2+x3) f : x↦√x2+x+1−√x2−x+1
Exercice 3
Déterminer, quand x tend vers x0, la limite de la fonction f dans les cas suivants :
1) f : x↦√x+2+√4x+1−5x+√x+2−4, x0=22) f : x↦√x2−3x−x√x2+2x+4, x0=0
3) f : x↦sinx(1−sinx)cosx, x0=π2
4) f : x↦2cos3x+3cosx−5sin2x, x0=0
(Indication : Poser u=cosx)
Exercice 4
1) Soit la fonction g définie sur R par :
g(x)=2x3+3x2+1
Montrer qu'il existe un réel unique a tel que g(a)=0 et que a∈[−1.68; 1.67].
Déterminer le signe de g sur R.
2) Soit la fonction f définie sur R∖{−1} par
f(x)=x3+xx+1
a) Étudier les variations de f.
b) Montrer que, si x∈[−1.68; −1.67] : |f′(x)|≤0.116.
c) Montrer que |f(a)−f(−1.67)|≤0.00116
Indication : Utiliser l'inégalité des Accroissements finis.
En déduire une valeur approchée à 10−2 près de f(a)
Exercice 5
1) Soit f la fonction définie par :
f(x)=−x2+2mx−m et C sa représentation graphique.
Déterminer m pour que la courbe représentative de f admette au point d'abscisse 2 une tangente T de coefficient directeur 0.
2) Soit g la fonction définie par : g(x)=−x2+4x−4
Étudier g et en faire la représentation graphique.
3) On désigne par h la restriction de g à [−∞, 2[.
Montrer que h est une bijection de [−∞, 2[ vers [−∞, 0[.
4) Soit h−1 la bijection réciproque et C−1 sa représentation graphique.
a) Tracer C−1 sans déterminer h−1
b) Déterminer une équation de la tangente à C−1 au point A d'abscisse -1.
c) Déterminer h−1 en donnant l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et l'image d'un élément x.
d) Déterminer (h−1)′ et retrouver une équation de la tangente à C−1 au point d'abscisse -1.
Exercice 6
1) Déterminer une primitive sur[0; π4] de la fonction : x↦1cos2x
2) On considère la fonction G, définie sur [0; ] par :
G(x)=sinxcos3x
Montrer que G est dérivable sur [0; π4]] et que :
G′(x)=3cos4x−2cos4x.
3) En déduire une primitive sur [0; π4], de la fonction :
f : x↦1cos4x.
Exercice 7
Dans une classe de 35 élèves, le professeur de mathématiques pose les deux questions suivantes à chacun de ses élèves, qui répondent pour chaque question par OUI ou NON.
Question 1 : aimez-vous les mathématiques ?
Question 2 : aimez-vous votre lycée ?
Le professeur constate que :
20 élèves sont répondu OUI à la question 1
12 élèves sont répondu NON à la question 2
5 élèves sont répondu NON au deux questions
Calculer le nombre d'élèves ayant répondu OUI aux deux questions.
Exercice 8
Pour relier deux villes A et B,on dispose de 4 itinéraires possibles, et pour relier les villes B et C, on dispose de 3 itinéraires possibles.
Partant de la ville A, un représentant se rend à la ville C en passant par B, puis revient en A en repassant de nouveau par B
1) Déterminer le nombre des trajets aller-retour tels que aucun des itinéraires reliant les villes et utilisés à l'aller, ne soit utilisé au retour
2) Déterminer le nombre des trajets aller-retour tels que exactement un des itinéraires reliant les villes et utilisés à l'aller, soit utilisé au retour.
3) Déterminer le nombre des trajets aller-retour tels que l'on utilise le même itinéraire entre les villes B et C à l'aller et au retour.
Auteur:
Mouhamadou Ka
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