Devoir n°40 - 2nd S

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

1. Écrire sous la forme $2^{m}\times 3^{n}\times 5^{p}$ $($avec $m\;,\ n\text{ et }p$ entiers relatifs$)$ les réels suivants :
 
$A=\dfrac{(0.009)^{-3}\times(0.016)^{2}\times 250}{(0.00075)^{-1})\times 810^{3}\times 30}$
 
$B=\dfrac{-6^{4}\times(-10)^{5}}{(48)^{2}\times 75}\div\sqrt{\dfrac{256}{9\times 5^{6}}}$
 
2. Écrire sous la forme $a^{m}b^{n}c^{p}$ $($avec $m$, $n$, et $p$ entiers relatifs$)$ les réels suivants :
 
$C=\dfrac{\left(a^{2}b\right)^{-3}\times\left(bc^{3}\right)\times\left(-a^{-2}b^{5}\right)^{3}}{\left(-b^{2}c^{2}a\right)^{-4}\times\left(-a^{-1}b^{6}\right)^{2}}$
 
$D=\dfrac{a^{-3}\times c^{3}\times b^{-1}}{4a^{5}\left(a^{-1}\times b^{2}\right)^{4}}\times\sqrt{\dfrac{16a^{10}\times b^{20}}{c^{8}}}$
 
3. Simplifier les expressions suivantes :
 
$E=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}-\left(1-\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{8}\right)^{2}}$
 
$F=\left(\sqrt{5}+2\right)^{2018}\left(\sqrt{5}-2\right)^{2019}$

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$
 
a) $|5x+3|=x+7$
 
b) $d(1\;,\ 2x)=-5$
 
c) $(x\;,\ 5)=\sqrt{\left(3x+2\right)^{2}}$
 
d) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} |x+2|&<&4\\ |2x-1|&\geq&1 \end{array}\right.$
 
e. $|-5+|3x-2|=3$
 
f. $|x-3|\leq|2x+1|$
 
2. a) Soit $n$ un entier naturel monter que l'inverse de $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ est $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.$
 
b) En déduire la valeur de la somme
 
$S=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

Exercice 3

1. Indiquer si les affirmations sont vraies ou fausses, puis justifie la réponse.
 
a. Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}$, alors $ABMC$ est un parallélogramme.
 
b. Pour tous points $A$, $B$ et $C$, $-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.$
 
c. Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et $M$ un point du plan, alors $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$
 
d. Soit le segment $[AB]$, si $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ alors $\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}.$
 
2. A l'aide de relation de chasles, simplifier les expressions suivantes : 
 
a. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}\right)$ ; 
 
b. $-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$
 
3. $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$
 
a. Montrer que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
 
b. En déduire que pour tout point $M$ $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{DM}=4\overrightarrow{OM}$

Exercice 4 

Soit $ABC$ un triangle.
 
1. Construire les points $G$, $H$, $K$ tels que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BH}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
 
2. Placer le point $L$ défini par $\overrightarrow{AL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
 
a. Montrer que $L$ est le milieu de $[GC]$
 
b. Montre que les points $A$, $L$ et $H$ sont alignés. 
 
c. Montre que $L$ appartient à la droite $(KB)$
 
d. Que peut-on dire des droites $(GC)$, $(HA)$ et $(KB)$ ?
 
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