Devoir n°40 - 2nd S

 

1. Écrire sous la forme $2^{m}\times 3^{n}\times 5^{p}$ $($avec $m\;,\ n\text{ et }p$ entiers relatifs$)$ les réels suivants :

 

$A=\dfrac{(0.009)^{-3}\times(0.016)^{2}\times 250}{(0.00075)^{-1})\times 810^{3}\times 30}$

 

$B=\dfrac{-6^{4}\times(-10)^{5}}{(48)^{2}\times 75}\div\sqrt{\dfrac{256}{9\times 5^{6}}}$

 

2. Écrire sous la forme $a^{m}b^{n}c^{p}$ $($avec $m$, $n$, et $p$ entiers relatifs$)$ les réels suivants :

 

$C=\dfrac{\left(a^{2}b\right)^{-3}\times\left(bc^{3}\right)\times\left(-a^{-2}b^{5}\right)^{3}}{\left(-b^{2}c^{2}a\right)^{-4}\times\left(-a^{-1}b^{6}\right)^{2}}$

 

$D=\dfrac{a^{-3}\times c^{3}\times b^{-1}}{4a^{5}\left(a^{-1}\times b^{2}\right)^{4}}\times\sqrt{\dfrac{16a^{10}\times b^{20}}{c^{8}}}$

 

3. Simplifier les expressions suivantes :

 

$E=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}-\left(1-\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{8}\right)^{2}}$

 

$F=\left(\sqrt{5}+2\right)^{2018}\left(\sqrt{5}-2\right)^{2019}$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$

 

a) $|5x+3|=x+7$

 

b) $d(1\;,\ 2x)=-5$

 

c) $(x\;,\ 5)=\sqrt{\left(3x+2\right)^{2}}$

 

d) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} |x+2|&<&4\\ |2x-1|&\geq&1 \end{array}\right.$

 

e. $|-5+|3x-2|=3$

 

f. $|x-3|\leq|2x+1|$

 

2. a) Soit $n$ un entier naturel monter que l'inverse de $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ est $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.$

 

b) En déduire la valeur de la somme

 

$S=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

1. Indiquer si les affirmations sont vraies ou fausses, puis justifie la réponse.

 

a. Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}$, alors $ABMC$ est un parallélogramme.

 

b. Pour tous points $A$, $B$ et $C$, $-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.$

 

c. Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et $M$ un point du plan, alors $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$

 

d. Soit le segment $[AB]$, si $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ alors $\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}.$

 

2. A l'aide de relation de chasles, simplifier les expressions suivantes : 

 

a. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}\right)$ ; 

 

b. $-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$

 

3. $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$

 

a. Montrer que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

 

b. En déduire que pour tout point $M$ $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{DM}=4\overrightarrow{OM}$

Soit $ABC$ un triangle.

 

1. Construire les points $G$, $H$, $K$ tels que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BH}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

 

2. Placer le point $L$ défini par $\overrightarrow{AL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

 

a. Montrer que $L$ est le milieu de $[GC]$

 

b. Montre que les points $A$, $L$ et $H$ sont alignés. 

 

c. Montre que $L$ appartient à la droite $(KB)$

 

d. Que peut-on dire des droites $(GC)$, $(HA)$ et $(KB)$ ?