Devoir n°42 - 2nd S

 

Répondre par vrai ou faux aux assertions suivantes puis justifier celles qui sont fausses.

 

1. $\forall\;a\in\mathbb{R}\text{ et }b\geq 0\;,\ |x-a|>b\quad\leftrightarrow\quad x-a>b$

 

2. $\lambda\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\quad\leftrightarrow\quad\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

 

3. Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul, il n'existe que deux vecteurs unitaires colinéaires à $\overrightarrow{u}$ : ces deux vecteurs sont opposés.

 

4. $G$ est un point du plan tel que : $G=\text{bar}\left\lbrace(A\;,\ \alpha)(B\;,\ \beta)(C\;,\ \gamma)\right\rbrace\ ;\ \forall\ \alpha\;,\ \beta\;,\ \gamma\in\mathbb{R}\;,\ G$ existe.

 

5. $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}\quad\forall\;a\in\mathbb{R}\quad\text{et }\quad b>0$

Les questions 1) 2) 3) 4) et 5) sont indépendantes.

 

1. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels vérifiant : $1<a<2$ et $-5<b<-4$

 

Donner un encadrement de $\dfrac{a+b}{ab}$

 

2. Écris plus simplement

 

$A=\dfrac{(-a)^{7}\left(b^{3}c^{2}\right)^{4}}{-b^{3}c(-a)^{4}}$ ; 

 

$B=\dfrac{1}{(a+b)^{2}}\left(\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}\right)+\dfrac{2}{(a+b)^{3}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$

 

$C=\dfrac{4a-1}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{4b-1}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{4c-1}{(c-a(c-b)}$

 

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$

 

$|1-|x-1||=1$ ; 

 

$E(x)=\dfrac{2}{3}$ ;

 

$E(5-x)=-2$ ;

 

$|5x-2|\leq 2x-1$ ;

 

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} |4x-2|&\geq&1\\ 5&<&|5-x| \end{array}\right.$

 

4. Soient $x$ et $y$ deux nombres strictement positifs, démontrer les inégalités suivantes :

$$\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}\leq\sqrt{xy}\leq\dfrac{x+y}{2}$$

 

5. Soit $n$ un entier non nul :

 

a. Démontrer que : $1-\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{n-1}{n}\times\dfrac{n+1}{n}$

 

b. En déduire une expression simple du produit : 

 

$\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\ldots\ldots\left(1-\dfrac{1}{19^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{20^{2}}\right)$

$ABC$ est un triangle quelconque

 

1. Construire $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

 

2. Démontrer que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

 

3. Soit $S$ et $T$ les milieux respectifs de $[BC]$ et $[MN].$

 

Démontrer que $A$, $S$ et $T$ sont alignés

Soit $DEF$ un triangle quelconque.

 

$M$ barycentre de $\left\lbrace(D\;,\ -1)(E\;,\ 3)\right\rbrace$ ; où $x$ est un réel.

 

$O$ le point défini par $\overrightarrow{EO}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{EF}$

 

1. Pour quelles valeurs de $x$, le barycentre $N$ existe.

 

2. Déterminer le réel $x$ pour que le point pondéré $(H\;, 4)$ soit le barycentre de $(M\;,\ 2)$ et $(F\;,\ x).$

 

3. Pour la suite on suppose que $x=2.$

 

Construire les points $M$, $N$, $O$, et $H$

 

4. Quel est le barycentre du système $\left\lbrace(E\;,\ 6)(F\;,\ 4)\right\rbrace$

 

5. a. Montrer que $H$ est le barycentre des points $D$ et $O$ affectés des coefficients à déterminer.

 

b. Montrer que les droites $(DO)$, $(EN)$ et $(FM)$ sont concourantes en un point l'on déterminera

 

6. Déterminer l'ensemble des points du plan tels que $||-\overrightarrow{MD}+3\overrightarrow{ME}||=4$