Devoir n°5 - Ts2

 

Les questions 1) 2) et 3) sont indépendantes.

 

Tous les résultats de calcul de probabilité seront donnés sous forme d'une fraction irréductible.

 

Une classe de Terminale S2 d'un lycée compte 3 élèves dont 10 filles.

 

1) A chaque séance, du cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard trois élèves.

 

Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

 

$A$ : "exactement deux des trois élèves interrogés sont des garçons".

 

$B$ : "les trois élèves interrogés sont du même sexe".

 

$C$ : "il y a au plus une fille parmi les trois élèves interrogés".

 

2) Parmi les 19 passants de la classe, on compte 4 filles.

 

Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

 

$D$ : "les deux délégués sont des passants".

 

$E$ : "un seul des délégués est passant".

 

3) A la fin de chaque séance, le professeur désigne au hasard un élève qui effacera le tableau.

 

Un même élève peut être désigné plusieurs fois.

 

a) Déterminer la probabilité $P_{n}$ pour que le tableau soit effacé au moins une fois par une fille à l'issue de $n$ séances.

 

b) Déterminer le nombre minimum de séances pour que $P_{n}\geq 0.9999$

Une urne contient trois pièces équilibrées.

 

Deux d'entre elles sont normales : elles possèdent une face "FACE" et une face "PILE". 

 

La troisième, truquée, possède deux faces "FACE". On prend une pièce au hasard dans l'urne et on effectue de manière indépendante des lancers successifs de cette pièce.

 

On considère les événements suivants :

 

$B$ : "La pièce prise est normale".

 

$\overline{\text{B}}$ : "La pièce prise est truquée".

 

$P$ : "on obtient PILE au premier lancer".

 

$F_{n}$ : "on obtient FACE pour les $n$ premiers lancers".

 

1) Calculer la probabilité de l'événement $P\cap B$ et la probabilité de l'événement $P\cap \overline{B}.$

 

En déduire la probabilité de l'événement $P.$

 

2) En remarquant que $F_{n}=(F_{n}\cap\overline{B})\cup (F_{n}\cap\overline{B})$ , montrer que la probabilité de l'événement $F_{n}$ est égale à : $$\dfrac{1}{3}\left(1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right)$$

 

3) a) Sachant que l'on a obtenu "FACE" pour les $n$ premiers lancers, quelle est la probabilité d'avoir pris la pièce truquée ?

 

b) Quelle est la limite de cette probabilité quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

A) On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[0\;;\ +\infty[$ par :

$$g(x)=\ln(x^{2})+\dfrac{4}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}$$

 

1) Étudier les limites de $g$ en 0 et en $+\infty.$

 

(Pour l'étude en 0, on pourra mettre $\dfrac{1}{x}$ en facteur).

 

On rappelle que $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x\ln x=0.$

 

2) a) Soit $g'$ la dérivée de la fonction $g.$ 

 

Calculer $g'(x).$

 

b) Étudier le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variations.

 

3) a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet dans $[0\;;\ +\infty[$ une solution unique $\alpha.$

 

b) Justifier l'encadrement $0.1<\alpha <1.$

 

c) Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près par excès de $\alpha.$

 

4) Déduire de l'étude précédente le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x.$

 

B) On considère la fonction numérique $f$, définie sur $[0\;;\ +\infty[$ par : $$f(x)=\mathrm{e}^{x}\left[\ln(x^{2})+\dfrac{2}{x}\right]$$

 

1) a) Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

 

b) Déterminer la limite $\mathrm{e}$ de $f$ en 0 (on pourra mettre $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ en facteur).

 

2) a) Calculer la dérivée de la fonction $f.$

 

b) Déterminer, en utilisant la partie A, le sens de variation de $f.$

 

3) a) Construire avec soin, dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ la courbe représentative de la fonction $f$ en prenant comme unités $4\;cm$ sur l'axe des abscisses et $0.5\;cm$ sur l'axe des ordonnées.

 

b) Calculer la dérivée de la fonction numérique $h$, définie sur $]0\;;\ +\infty[$ par :

$$h(x)=\mathrm{e}^{x}\ln(x^{2})$$

 

c) En déduire les primitives de la fonction $f.$

 

$$\text{Durée : 4h}$$