Devoir n°6 - Ts2

 

On teste un médicament parmi un ensemble d'individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé.

 

Pour cela $60\%$ des individus prennent le médicament, les autres recevant un placebo 1, et l'on étudie à l'aide d'un test la baisse du taux de glycémie.

 

Chez les individus ayant pris le médicament, on constate une baisse de ce taux avec une probabilité de 0.8 ; on ne constate aucune baisse de taux pour $90\%$ des personnes ayant le placebo. On appelle :

 

$M$ l'événement "avoir pris le médicament", $\overline{M}$ l'événement contraire.

 

$B$ l'événement "avoir une baisse du taux de glycémie" ; $\overline{B}$ l'événement contraire.

 

1) Utiliser l'égalité $B=(M\cap B)\bigcup(\overline{M}\cap B)$ pour montrer que la probabilité $P(B)$ de l'événement $B$ est 0.52

 

2) On soumet au test un individu pris au hasard.

 

Quelle est la probabilité pour qu'il ait pris le médicament si on ne constate pas de baisse de son taux de glycémie ?

 

3) On contrôle cinq individus au hasard. 

 

Quelle est la probabilité d'avoir au moins un individu dont le taux n'a pas baissé ?

 

Le résultat sera donné sous forme décimale à $10^{-3}$ près.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ (unité graphique : $0.5\;cm$)

 

Soit $(U_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme $U_{0}=1$ et $(V_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite arithmétique de raison $\dfrac{\pi}{4}$ et de premier terme $V_{0}=0.$

 

On désigne par $z_{n}$ le nombre complexe de module $U_{n}$ et d'argument $V_{n}$ et par $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}.$

 

1) Représenter dans le repère $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ les points 

 

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}\;,\ M_{5}\;,\ M_{6}\;,\ M_{7}\;,\ M_{8}.$

 

2) a) Donner $\dfrac{z_{n}+1}{z_{n}}$ sous forme trigonométrique et sous forme algébrique.

 

b) En déduire qu'il existe une transformation $T$ du plan complexe, dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques, telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ T(M_{n})=M_{n+1}.$

 

3) a) Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_{n+1}-z_{n}}{z_{n}}.$

 

b) Calculer la distance $M_{n}M_{n+1}$ en fonction de $U_{n}.$

 

c) Calculer la longueur, en cm, de la ligne brisée 

 

$(M_{0}\;,\ M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\;,\ M_{4}\;,\ M_{5}\;,\ M_{6}\;,\ M_{7}\;,\ M_{8}).$

 

On donnera la réponse sous la forme $\dfrac{1}{2}\left( a+b\sqrt{2}\right)$ avec $a$ et $b$ entiers.

Un sac contient six boules rouges numérotées de 1 à 6 et trois boules blanches numérotées de 1 à 3.

 

On extrait simultanément deux boules ; on note $a$ et $b$ les numéros portés sur ces deux boules. 

 

On admet l'équiprobabilité de toutes les paires de boules.

 

1) Quelle est la probabilité pour que l'on ait $a=b$ ?

 

2) Quelle est la probabilité pour que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?

 

3) A chaque tirage de deux boules, on associe la variable aléatoire $X$ définie par :

 

$-\ $ si les deux boules sont blanches, $X$ prend la valeur $a+b$

 

$-\ $ si les deux boules sont rouges, $X$ prend la valeur $|a-b|$

 

$-\ $ si les deux boules sont de couleurs différentes, $X$ prend la valeur 0.

 

a) Définir la loi de probabilité de $X.$

 

b) Calculer l'espérance mathématique de $X.$

 

c) Représenter graphiquement la fonction de répartition de $X.$

Afin de mieux gérer ses stocks, une entreprise décide d'estimer son besoin en matières premières par l'intermédiaire d'une grandeur dont la valeur peut être connue rapidement (chiffre d'affaires ou total des salaires).

 

on note $X$ la quantité, en tonnes de matières premières ; $Y$ le chiffre d'affaires en milliers de francs. 

 

Dans tout l'exercice on pourra donner directement les résultats fournis par la calculatrice. Le relevé des mois précédents est le suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\text{Numéro du mois}&1&2&3&4&5&6\\ \hline X&0.9&1.2&0.6&0.5&1.4&1\\ \hline Y&37&40&33&33&41&35\\ \hline Z&3.9&3.7&3.2&3.3&3.6&3.7\\ \hline \end{array}$$

 

1) a) Calculer les coefficients de corrélation linéaire $r_{1}$ entre $X$ et $Y$ et $r_{2}$ entre $X$ et $Z.$

 

b) Est-ce un ajustement entre $Y$ et $X$ ou entre $Z$ et $X$ qui permettra la meilleure estimation de $X$ ?

 

2) Déterminer une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ et en déduire une estimation du besoin en matières premières pour $Y=39.$

1) Déterminer la solution de l'équation différentielle $9y''+6y'+y=0$ vérifiant les conditions initiales $y(0)=6$ et $y'(0)=0.$

 

2) Dresser le tableau de variation de $f\ :\ x\mapsto 2(x+3)\mathrm{e}^{-\frac{x}{3}}$

 

3) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=]-\infty\;;\ 0].$

 

a) Montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ que l'on précisera.

 

b) Prouver que la bijection réciproque $g^{-1}$ est dérivable en 0 et calculer $(g^{-1})'(0).$

 

4) Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

5) Déterminer l'aire $S(\gamma)$ du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$ , la droite $(O\;,\ \vec{i})$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=\lambda.$ 

 

(N.B. On sera amené à faire une intégration par parties).

 

Déterminer la limite de cette aire lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty.$

 

$$\text{Durée : 4h}$$