Devoir n°8 - Ts2
Classe:
Terminale
(LCG 2006)
Exercice 1
Soit f(x)=(x+1)n.
1) a) En utilisant la formule du binôme, développer f(x).
b) En déduire que : C0n+C1n+C2n+⋯+Cnn=2n.
2) a) En utilisant f′(x) , montrer que :
1C1n+2C2n+⋯+nCnn=n2n−1.
b) En utilisant f″(x) , montrer que :
1×2C2n+2×3C3n+⋯+(n−1)nCnn=n(n−1)2n−2.
Exercice 2
Une urne contient 3 boules noires , 4 boules rouges et 5 boules vertes.
On tire successivement sans remise 3 boules de l'urne.
Calculer le nombre de tirages :
1) possibles 2) tricolores 3) unicolores 4) multicolores 5) contenant au moins une verte.
Exercice 3
Soit la fonction f définie par :
f(x)=√x2(x−4)x−1.
1) Déterminer son domaine de définition Df.
2) a) Étudier la dérivabilité de f sur Df.
b) Déterminer sa fonction dérivée.
c) Déterminer le tableau de variation de f.
3) Montrer que Cf , courbe représentative de f , admet deux demi-tangentes T1 et T2 dont on donnera les équations.
4) a) Déterminer les asymptotes obliques de f, D1 en −∞ et D2 en +∞.
b) Étudier la position de Cf par rapport à D1 et D2.
5) Tracer Cf.
Exercice 4
Soit la fonction f définie par :
f(x)=sinx+cosxsinx−cosx
1) Déterminer Df.
2) Montrer que π est une période de f , puis que A(π4; 0) ; est centre de symétrie de Cf.
3) Montrer que ∀x∈Df, f(x)=−tan(x+π4)
4) Étudier la dérivabilité de f et déterminer f′(x).
5) Étudier les variations de f sur ]π4; 3π4].
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