Devoir n°8 - Ts2

 

(LCG 2006)

Soit $f(x)=(x+1)^{n}.$

 

1) a) En utilisant la formule du binôme, développer $f(x).$

 

b) En déduire que : $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots+C_{n}^{n}=2^{n}.$

 

2) a) En utilisant $f'(x)$ , montrer que :

 

$1C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+\cdots+nC_{n}^{n}=n2^{n-1}.$

 

b) En utilisant $f''(x)$ , montrer que :

 

$1\times 2C_{n}^{2}+2\times 3C_{n}^{3}+\cdots+(n-1)nC_{n}^{n}=n(n-1)2^{n-2}.$

 

Une urne contient 3 boules noires , 4 boules rouges et 5 boules vertes.

 

On tire successivement sans remise 3 boules de l'urne.

 

Calculer le nombre de tirages :

 

1) possibles 2) tricolores 3) unicolores 4) multicolores 5) contenant au moins une verte.

 

Soit la fonction $f$ définie par : 

 

$f(x)=\sqrt{\dfrac{x^{2}(x-4)}{x-1}}.$

 

1) Déterminer son domaine de définition $D_{f}.$

 

2) a) Étudier la dérivabilité de $f\text{ sur }D_{f}.$

 

b) Déterminer sa fonction dérivée.

 

c) Déterminer le tableau de variation de $f.$

 

3) Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ , courbe représentative de $f$ , admet deux demi-tangentes $T_{1}\text{ et }T_{2}$ dont on donnera les équations.

 

4) a) Déterminer les asymptotes obliques de $f\;,\ \mathcal{D}_{1}\text{ en }-\infty\text{ et }\mathcal{D}_{2}\text{ en }+\infty.$

 

b) Étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $\mathcal{D}_{1}\text{ et }\mathcal{D}_{2}.$

 

5) Tracer $\mathcal{C}_{f}.$

 

Soit la fonction $f$ définie par :

 

$f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$ 

 

1) Déterminer $D_{f}.$

 

2) Montrer que $\pi$ est une période de $f$ , puis que $A\left(\dfrac{\pi}{4}\;;\ 0\right)$ ; est centre de symétrie de $\mathcal{C}_{f}.$

 

3) Montrer que $\forall\;x\;\in\;D_{f}\;,\ f(x)=-\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

 

4) Étudier la dérivabilité de $f$ et déterminer $f'(x).$

 

5) Étudier les variations de $f\text{ sur }\left]\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{3\pi}{4}\right].$