Devoir n°8 - Ts2
Classe:
Terminale
Exercice 1
Les élèves de Sankoré (*) décident de choisir au hasard un président du foyer, son adjoint et un trésorier.
Parmi les candidats, se trouvent 7 filles, dont 4 en terminale, et 8 garçons, dont 5 en terminale.
Calculer la probabilité des événements suivants :
A : "les trois personnes choisies sont des filles"
B : "les trois personnes choisies sont en terminale"
C : "le président est un garçon"
D : "le président et le trésorier sont de sexes différents"
E : "parmi les trois, se trouvent une seule fille et un seul élève de terminale".
Exercice 2
On considère le nombre complexe Z défini par :
Z=z−2+iz+1+2i et le point A d'affixe zA=−1−2i.
1) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que :
a) Z soit un réel
b) Z soit un réel positif
c) Z soit un imaginaire pur
d) Représenter ces trois ensembles dans un même repère.
2) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que :
a) |Z|=1
b) |Z|=4
3) Calculer |1+cosθ+isinθ|.
Discuter suivant les valeurs de θ∈[0; 2π[.
Problème
A. On considère la fonction g définie par :
g(x)=1−1x+lnx.
1) Étudier les variations de g puis dresser son tableau de variation.
2) Calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
B. On considère la fonction f définie par :
{f(x)=ex−1−1si x<1f(x)=(x−1)lnxsi x≥1
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 1.
2) a) Calculer la dérivée de f pour x<1, puis en déduire le signe de f′(x) sur ]−∞; 1[.
b) Montrer que sur ]1; +∞[, f′(x)=g(x) puis déduire de a question (2-A) le signe de f′(x) sur ]1; +∞[.
c) Calculer limx→−∞f, limx→+∞f puis dresser le tableau de variation de f.
3) a) Montrer que Cf admet une asymptote horizontale.
b) Calculer limx→+∞f(x)x.
Qu'en déduire ?
c) Démontrer que f réalise une bijection de R vers un ensemble à déterminer.
4) Représenter Cf et C−1f dans un même repère.
5) a) Calculer f−1(0). Montrer que f−1 est dérivable en 0 , calculer (f−1)′(0) et donner une équation de la tangente à C−1f au point d'abscisse 0.
Durée : 3h
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