Devoir n°8 - Ts2

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

Les élèves de Sankoré (*) décident de choisir au hasard un président du foyer, son adjoint et un trésorier. 
 
Parmi les candidats, se trouvent 7 filles, dont 4 en terminale, et 8 garçons, dont 5 en terminale. 
 
Calculer la probabilité des événements suivants :
 
A : "les trois personnes choisies sont des filles"
 
B : "les trois personnes choisies sont en terminale"
 
C : "le président est un garçon"
 
D : "le président et le trésorier sont de sexes différents"
 
E : "parmi les trois, se trouvent une seule fille et un seul élève de terminale".

Exercice 2

On considère le nombre complexe Z défini par : 
 
Z=z2+iz+1+2i et le point A d'affixe zA=12i.
 
1) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que :
 
a) Z soit un réel
 
b) Z soit un réel positif
 
c) Z soit un imaginaire pur
 
d) Représenter ces trois ensembles dans un même repère.
 
2) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

a) |Z|=1
 
b) |Z|=4
 
3) Calculer |1+cosθ+isinθ|. 
 
Discuter suivant les valeurs de θ[0; 2π[.

Problème

A. On considère la fonction g définie par : 
 
g(x)=11x+lnx.
 
1) Étudier les variations de g puis dresser son tableau de variation.
 
2) Calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
 
B. On considère la fonction f définie par : 
{f(x)=ex11si x<1f(x)=(x1)lnxsi x1
 
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 1.
 
2) a) Calculer la dérivée de f pour x<1, puis en déduire le signe de f(x) sur ]; 1[.
 
b) Montrer que sur ]1; +[, f(x)=g(x) puis déduire de a question (2-A) le signe de f(x) sur ]1; +[.
 
c) Calculer limxf, limx+f puis dresser le tableau de variation de f.
 
3) a) Montrer que Cf admet une asymptote horizontale.
 
b) Calculer limx+f(x)x.
 
Qu'en déduire ?
 
c) Démontrer que f réalise une bijection de R vers un ensemble à déterminer.
 
4) Représenter Cf  et  C1f dans un même repère.
 
5) a) Calculer f1(0). Montrer que f1 est dérivable en 0 , calculer (f1)(0) et donner une équation de la tangente à C1f  au point d'abscisse 0.
Durée : 3h

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