Devoir n°9 - Ts2

 

(LCOFT 2005)

 

Soit $h$ l'application de $\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[\text{ dans }\mathbb{R}$ définie par :

$h(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ 

 

1) Calculer $\lim _{x\rightarrow -\dfrac{\pi^{+}}{2}}h(x)\ \text{ et }\ \lim _{x\rightarrow \dfrac{3\pi}{2}}h(x)$

 

(on pourra faire un changement de variable) et interpréter géométriquement ces deux limites.

 

2) Etudier les variations de $h.$

 

3) Montrer que $\mathcal{C}_{h}$ admet un point d'inflexion $A$ dont on donnera les coordonnées. 

 

Donner une équation de la tangente en $A\text{ à }\mathcal{C}_{h}.$

 

4) Montrer que $h$ admet une fonction réciproque dont on précisera l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée ainsi que les propriétés (continuité, variation, dérivabilité).

 

N.B. On ne cherchera pas à expliciter $h^{-1}(x).$

 

5) Calculer $h^{-1}(\sqrt{3})\ \text{ et }\ h^{-1'}(\sqrt{3}).$

 

Soit $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\sqrt{1-x^{4}}}{x}.$

 

1) Déterminer $D_{f}.$

 

2) a) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f.$

 

b) Calculer $\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.$

 

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

 

3) a) Montrer qu'il existe une fonction $g$ définie et continue sur $[-1\;;\ 1]$ , et telle que :

$$\forall\;x\in[-1\;;\ 0[\cup]0\;;\ 1]\;:\ g(x)=f(x)$$

 

b) $g$ est-elle dérivable en 0 ?

 

Le morse utilise deux signaux : le point . et le trait -.

 

On forme avec ces deux signaux des séquences de longueurs différentes.

 

Par exemple, ..--. est une séquence de longueur 5.

 

1) a) Déterminer le nombre de séquences de longueur $n$ que l'on peut former, avec $n$ entier strictement positif.

 

b) Déterminer la plus petite valeur de $n$ permettant de coder les 26 lettres de l'alphabet et les 10 chiffres avec des séquences toutes de longueur $n.$

 

2) a) Déterminer le nombre de séquences de longueur au plus $n(n\in \mathbb{N}).$

 

b) Déterminer la plus petite valeur de $n$ permettant de coder les 26 lettres de l'alphabet et les 10 chiffres avec des séquences de longueur au plus $n.$

 

On désigne par $A\;,\ B\text{ et }C$ respectivement, l'ensemble des lecteurs de trois hebdomadaires

$\mathcal{A}\;,\ \mathcal{B}\text{ et }\mathcal{C}.$

 

Une enquête a permis d'estimer le nombre de lecteurs de ces trois hebdomadaires.

 

Les résultats sont désignés dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ensemble}&\text{Nombre d'éléments}\\      &\text{(en milliers)}\\ \hline \text{A}&2180 \\ \hline \text{B}&2050 \\ \hline \text{C}&1460\\ \hline \text{A}\cap\text{B}&930\\ \hline \text{A}\cap\text{C}&430\\ \hline \text{B}\cap\text{C}&330\\ \hline \text{A}\cap\text{B}\cap\text{C}&110\\ \hline \end{array}$$

 

1) a) Combien de personnes lisent au moins un des trois hebdomadaires ?

 

b) Combien de personnes lisent exactement deux de ces hebdomadaires ?

 

c) Décrire en langage ensembliste à l'aide des symboles $\cap\;,\ \cup\;,\text{ et des ensembles }A\;,\ B\;,\ C$,

 

$\overline{A}\;,\ \overline{B}\text{ et }\overline{C}$ , l'ensemble des lecteurs des hebdomadaires $\mathcal{B}\text{ ou }\mathcal{C}$ , non lecteurs de l'hebdomadaire $\mathcal{A}.$

 

Calculer ensuite le cardinal de cet ensemble.

 

2) Une campagne publicitaire pour cet article est lancée dans l'hebdomadaire $\mathcal{A}.$

 

L'annonceur désire la compléter par une diffusion dans un deuxième hebdomadaire.

 

Lequel doit-il choisir pour bénéficier du maximum de lecteurs supplémentaires ?

 

3) Les coûts d'une campagne publicitaire pour un annonceur dans les journaux $\mathcal{A}\;,\ \mathcal{B}\text{ et }\mathcal{C}$ sont respectivement : 4 500 000 F, 4 000 000 F et 3 200 000 F.

 

On sait d'autre part que 10$\%$ des lecteurs d'un hebdomadaire contenant une publicité pour cet article l'achètent.

 

Ce fabricant réalise un bénéfice de 80 F par article vendu.

 

Il décide d'engager une campagne publicitaire dans deux de ces hebdomadaires, dont $\mathcal{A}.$

 

Quel second hebdomadaire doit-il choisir pour espérer réaliser le profit maximal ?