Devoir n°9 - Ts2

Classe: 
Terminale

 
(LCOFT 2005)
 

Exercice 1

Soit h l'application de ]π2; 3π2[ dans R définie par :
h(x)=cosx1+sinx 
 
1) Calculer limxπ+2h(x)  et  limx3π2h(x)
 
(on pourra faire un changement de variable) et interpréter géométriquement ces deux limites.
 
2) Etudier les variations de h.
 
3) Montrer que Ch admet un point d'inflexion A dont on donnera les coordonnées. 
 
Donner une équation de la tangente en A à Ch.
 
4) Montrer que h admet une fonction réciproque dont on précisera l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée ainsi que les propriétés (continuité, variation, dérivabilité).
 
N.B. On ne cherchera pas à expliciter h1(x).
 
5) Calculer h1(3)  et  h1(3).
 

Exercice 2

Soit f : x11x4x.
 
1) Déterminer Df.
 
2) a) Étudier la continuité et la dérivabilité de f.
 
b) Calculer limx1f(x)f(1)x1.
 
Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
 
3) a) Montrer qu'il existe une fonction g définie et continue sur [1; 1] , et telle que :
x[1; 0[]0; 1]: g(x)=f(x)
 
b) g est-elle dérivable en 0 ?
 

Exercice 3

Le morse utilise deux signaux : le point . et le trait -.
 
On forme avec ces deux signaux des séquences de longueurs différentes.
 
Par exemple, ..--. est une séquence de longueur 5.
 
1) a) Déterminer le nombre de séquences de longueur n que l'on peut former, avec n entier strictement positif.
 
b) Déterminer la plus petite valeur de n permettant de coder les 26 lettres de l'alphabet et les 10 chiffres avec des séquences toutes de longueur n.
 
2) a) Déterminer le nombre de séquences de longueur au plus n(nN).
 
b) Déterminer la plus petite valeur de n permettant de coder les 26 lettres de l'alphabet et les 10 chiffres avec des séquences de longueur au plus n.
 

Exercice 4

On désigne par A, B et C respectivement, l'ensemble des lecteurs de trois hebdomadaires
A, B et C.
 
Une enquête a permis d'estimer le nombre de lecteurs de ces trois hebdomadaires.
 
Les résultats sont désignés dans le tableau ci-dessous :
ensembleNombre d'éléments(en milliers)A2180B2050C1460AB930AC430BC330ABC110
 
1) a) Combien de personnes lisent au moins un des trois hebdomadaires ?
 
b) Combien de personnes lisent exactement deux de ces hebdomadaires ?
 
c) Décrire en langage ensembliste à l'aide des symboles , , et des ensembles A, B, C,
 
A¯, B¯ et C¯ , l'ensemble des lecteurs des hebdomadaires B ou C , non lecteurs de l'hebdomadaire A.
 
Calculer ensuite le cardinal de cet ensemble.
 
2) Une campagne publicitaire pour cet article est lancée dans l'hebdomadaire A.
 
L'annonceur désire la compléter par une diffusion dans un deuxième hebdomadaire.
 
Lequel doit-il choisir pour bénéficier du maximum de lecteurs supplémentaires ?
 
3) Les coûts d'une campagne publicitaire pour un annonceur dans les journaux A, B et C sont respectivement : 4 500 000 F, 4 000 000 F et 3 200 000 F.
 
On sait d'autre part que 10% des lecteurs d'un hebdomadaire contenant une publicité pour cet article l'achètent.
 
Ce fabricant réalise un bénéfice de 80 F par article vendu.
 
Il décide d'engager une campagne publicitaire dans deux de ces hebdomadaires, dont A.
 
Quel second hebdomadaire doit-il choisir pour espérer réaliser le profit maximal ?
 

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