ENSA - Épreuve de Mathématiques - 2014

 

Massamba aime le chocolat, mais il doit suivre un régime pendant une année.

 

Le premier jour, il ne mange pas de chocolat. 

 

Si un jour donné $n\ (1\leq n \leq 364)$, Massamba ne mange pas de chocolat il y a une chance sur $5$ qu'il n'en mange pas le lendemain. 

 

Si ce même jour, Massamba mange du chocolat il y a une chance sur $2$ qu'il n'en mange pas le lendemain. 

 

Pour $n\geq 1$, on désigne par $F_{n}$ l'événement « Massamba ne mange pas de chocolat le jour n » et $P_{n}$ la probabilité de $F_{n}.$

 

Chaque affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

 

A) $P(F_{2}/F_{1})=\dfrac{1}{5}$

 

B) Pour $n\geq 3$, on a : $P(F_{n}/F_{n-1})=\dfrac{1}{5}\ $ et $\ P(F_{n}/F_{n-1})=\dfrac{1}{2}\ $ 

 

C) Pour $n\geq 2$, on a : $P_{n}=\dfrac{-3}{10}P_{n-1}+\dfrac{1}{2}$

 

D) Pour $n\geq 1$, on a : $P_{n}-\dfrac{5}{13}=\dfrac{8}{13}\left(-0.3\right)^{n-1}$

On considère le nombre complexe $a=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{2\pi}{5}}.$ 

 

On note $I\;,\ A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ les points du plan complexe d'affixes

 

$$1\;,\ a\;,\ a^{2}\;,\ a^{3}\;,\ a^{4}$$

 

1) Vérifier que $a^{5}=1$

 

2) Montrer que $IA=AB=BC=CD=DI$

 

3) Vérifier que pour tout $z$ complexe :

$$z^{5}-1=\left(z-1\right)\left(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}\right)$$

4) En déduire que $1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}=0$

 

5) Montrer que $a^{3}=\bar{a}^{2}$ et que $a^{4}=\bar{a}$

 

6) En déduire que $(a+\bar{a})^{2}+(a+\bar{a})+1=0$

 

7) Résoudre, dans $\mathbb{R}$, l'équation $4x^{2}+2x-1=0$

 

8) Calculer $(a+\bar{a})$ et en déduire la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{2\pi}{5}\right).$

 

9) Placer les points $I\;,\ A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ dans le plan complexe $($unité $4\;cm).$

Partie A

 

Soit f la fonction définie par :

$$\forall\;x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\;,\ f(x)=\mathrm{e}^{-x}\ln x$$

1) Déterminer la fonction dérivée de $f$ et vérifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)=-\ln x+\dfrac{1}{x}$

 

2)) Étudier les variations de la fonction $g$, et en déduire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique, noté $\alpha$, comprise entre $\dfrac{3}{2}\ $ et $\ 2$

 

Déterminer le signe de $g(x)$

 

3) Vérifier l'égalité $f(\alpha)=\dfrac{\mathrm{e}^{-\alpha}}{\alpha}$ et déduire, de l'égalité $\dfrac{3}{2}<\alpha<2$, un encadrement de $f(\alpha)$

 

4) Achever l'étude de la fonction $f$ et tracer sa représentation graphique dans un repère $(o\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

 

Partie B

 

1) Monter que l'équation $g(x)=0$ est équivalente à l'équation $h(x)=x$, où $h$ est définie par 

$$\forall\;x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\;,\ h(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$$

2) Calculer $h'(x)$ et vérifier que

$$\forall\;x\in\left[\dfrac{3}{2}\;,\ 2\right]\;,\ -\dfrac{4}{9}\mathrm{e}^{\tfrac{2}{3}}\leq h'(x)\leq -\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}}$$

En déduire qu'il existe un réel $k\in ]0\;,\ 1[$ tel que :

$$\forall\;x\in\left[\dfrac{3}{2}\;,\ 2\right]\;,\ h'(x)\leq k$$

3) Prouver que, pour tout couple réels distincts $x\ $ et $\ y$ compris entre $\dfrac{3}{2}\ $ et $\ 2$

$$|h(x)-h(y)|\leq k|x-y|$$

4) Soit la suite $U$ définie par son premier terme $u_{0}=2$ et la relation de récurrence :

$$\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=h(u_{n})$$

a) Montrer que $\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ u_{n}\in\left[\dfrac{3}{2}\;,\ 2\right]$

 

b) Montrer que $\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ |u_{n+1}-\alpha|\leq k|u_{n}-\alpha|$

 

c) En déduire que $\forall\;x\in\mathbb{N}\;,\ |u_{n}-\alpha|\leq k^{n}|u_{0}-\alpha|$

 

Et montrer que la suite $U$ converge vers $\alpha.$

 

$$\text{Durée 2 heures}$$