ENSA - Épreuve de Mathématiques - 2015

 

On place dans une urne une boule jaune, $x$ boules blanches et $y$ boules noires. 

 

On tire au hasard une boule de l'urne. 

 

Les tirages étant équiprobables.

 

Soit $A$ l'événement : « la boule obtenue est jaune »

 

Soit $B$ l'événement : « la boule obtenue est blanche »

 

Soit $C$ l'événement : « la boule obtenue est noire »

 

1. a) Calculer les probabilités $p(A\;,\ p(B)\ $ et $\ p(C)$ des événements $A\;,\ B\ $ et $\ C.$

 

b) Calculer $x\ $ et $\ y$ sachant que $p(A)=\dfrac{1}{21}\ $ et que $p(A)\ ,\ p(B)\ $ et $\ p(C)$ sont les termes consécutifs d'une suite géométrique.

 

2) Dans cette question : $x=4\ $ et $\ y=16$

 

Deux personnes Clément et Momar utilisent cette urne pour réaliser le jeu suivant :

 

Deux boules sont tirées de l'urne simultanément. 

 

Momar reçoit $12$ francs de Clément si les deux boules sont de la même couleur et Clément reçoit $18$ francs de Momar si les deux boules sont de couleurs différentes.

 

a) On note $X$ la variable aléatoire qui mesure le gain de Clément. 

 

Déterminer la loi de probabilité de $X.$

 

b) Calculer l'espérance mathématique de $X.$ 

 

Le jeu est-il équitable.

 

c) Calculer la variance et l'écart-type de $X.$

Soif $f$ l'application définie sur $\left]0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ par

$$f(x)=\dfrac{1}{\cos x}$$

a) Montrer que $f$ est une bijection de $\left]0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ sur un sous ensemble $E$ de $\mathbb{R}$

 

b) Établir que $f^{-1}$ est dérivable sur $E$ et que

$$\left(f^{-1}\right)^{'}(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}$$

Soit $n$ un entier naturel. On note $f_{n}$la fonction définie sur $R$ par 

 

$$f_{n}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+\mathrm{e}^{-x}}$$

 

On appelle $C_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthonormal $(o\;;\ \vec{i}\;;\ \vec{j}) .$

 

Partie A

 

1) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $C_{n}$ ont un unique point commun $A.$ 

 

On précisera les coordonnées du point $A.$

 

2) Étude de la fonction $f_{0}.$

 

a) Étudier le sens de variation  $f_{0}.$.

 

b) Préciser les limites de la fonction  $f_{0}.$ en $- \infty\ $ et en $+\infty.$

 

c) Dresser le tableau de variation de  $f_{0}.$

 

3) Étude de la fonction  $f_{1}.$ .

 

a) Démontrer que  $f_{0}(x)=f_{1}(-x).$ pour tout nombre réel $x.$

 

b) En déduire les limites de la fonction  $f_{1}.$ en $-\infty\ $ et en $+\infty$ ainsi que son sens de variation

 

c) Donner une interprétation géométrique de la question 3.a) pour les courbes  $C_{0}.\ $ et  $\ C_{1}.$

 

4) Étude de la fonction  $f_{n}\;;\ n\geq 2.$

 

a) Vérifier que pour tout entier naturel $n\geq 2$ et pour nombre réel $x$, on a :

 

$$f_{n}(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{nx}+\mathrm{e}^{(n-1)x}}$$

 

b) Préciser les limites de la fonction  $f_{n}.$ en $-\infty\ $ et en $+\infty$

 

c) Calculer la dérivée $f_{n}^{'}(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f_{n}$

 

Partie B

 

On pose, pour tout entier naturel $n\ :$

$$U_{n}=\int_{0}^{1}f_{n}(x)\mathrm{d}x$$

1) Calculer $U_{1}$ puis montrer que : $U_{0}+U_{1}=1.$ En déduire $U_{0}.$

 

2) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :

$$0\leq U_{n}\leq \int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-nx}\mathrm{d}x$$

3) Calculer l'intégrale :

$$\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-nx}\mathrm{d}x$$

En déduire que la suite $\left(U_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite.

 

 

$$\text{Durée 2 heures}$$