ENSA - Épreuve de Mathématiques - 2018

 

1) On donne la valeur exacte :

$$\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$

a) En utilisant la formule $(\cos x)+(\sin x)^{2}=1$, déterminer la valeur exacte de $\sin\dfrac{\pi}{8}.$

 

b) En déduire la valeur exacte de $\cos\dfrac{5\pi}{8}$ en justifiant votre démarche.

 

c) Établir l'égalité

$$\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}$$

2) On considère l'expression suivante :

$$A=\cos\dfrac{9\pi}{8}-3.\sin\dfrac{5\pi}{8}+2.\cos\dfrac{7\pi}{8}$$

Déterminer une écriture de l'expression de $A$ en fonction des rapports trigonométriques de l'angle $\dfrac{\pi}{8}.$

Une pépinière propose trois types d'arbres : des mandariniers, des pamplemoussiers, des citronniers. Chacun de ses arbres peuvent être achetés à des tailles différentes : soit sous la forme de « jeune pousse » $(0.5$ mètre), soit sous la forme « adulte » (1 mètre).

 

A l'âge de jeune pousse, les mandariniers, pamplemoussiers et citronniers valent respectivement $1\,000\,\text{FCFA}$, $1\,250\,\text{FCFA}\ $ et $\ 1\,500\,\text{FCFA}.$ Si le client veut acheter la forme adulte, il faut alors qu'il rajoute $500\,\text{FCFA}.$

 

Lors de son bilan de fin d'année, le gérant remarque que $40\%$ des arbres vendus sont des citronniers et que les mandariniers et les pamplemoussiers se partagent à parts égales les autres ventes. Le gérant constate aussi que quelque soit le type d'arbres, le quart des ventes s'effectuent toujours sur les arbres « adultes ».

 

L'expérience aléatoire considérée consiste à tirer au hasard une facture de l'exercice $2015.$

 

On considère les événements suivants :

 

$M\ :$ « L'arbre acheté est un mandarinier »

 

$P\ :$ « L'arbre acheté est un pamplemoussier »

 

$C\ :$ « L'arbre acheté est un citronnier »

 

$J\ :$ « L'arbre acheté est une jeune pousse »

 

1) Dresser un arbre pondéré représentant cette situation.

 

2) On considère la variable aléatoire $X$ associant à la facture tirée son montant.

 

a) Dresser le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X.$

 

b) Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X.$

 

c) Donner l'écart-type de $X$ au dixième près.

Partie A

 

Soit $(U_{n})$ la suite définie par son premier terme $U_{0}$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation :

$$U_{n+1}=a.U_{n}+b$$

$(a\ $ et $\ b$ réels non nuls tels que $a\neq 1)$

 

On pose, pour tout entier naturel $n\ :$

$$V_{n}=U_{n}-\dfrac{b}{1-a}$$

1) Démontrer que, la suite $(V_{n})$ est géométrique de raison $a.$

 

2) En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1\;;\ 1[$, alors la suite $(U_{n})$ a pour limite $\dfrac{b}{1-a}$

 

Partie B

 

En mars $2015$, Amadou achète une plante verte mesurant $80\,cm$. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de $30\,cm$ au cours des douze mois suivants.

 

Dès qu'il rentre chez lui, Amadou taille sa plante.

 

1) Quelle sera la hauteur de la plante en mars $2016$ avant que Ben Idriss ne la taille ?

 

2) Pour tout entier naturel $n$, on note $h_{n}$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015+n).$

 

a) Justifier que, pour tout entier naturel $n\ :$

$$h_{n+1}=0.75\times h_{n}+30$$

b) Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variation de la suite $(h_{n}).$

 

Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

 

c) La suite $(h_{n})$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\;;\ +\infty[$ par

$$f(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}$$

et $h$ la fonction définie sur le même intervalle par :

$$h(x)=\ln\left(\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right)$$

1) Démontrer que $f$ est une bijection de $[0\;;\ +\infty[$ vers $\left]0\;;\ \dfrac{1}{2}\right].$

 

2) Le plan est rapporté à un repère orthonormé d'unité graphique $2\,cm.$

 

Tracer dans ce repère les courbes de $f$ et de $f^{-1}$

 

3) a) Calculer la fonction dérivée de $h.$

 

b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x=1$ et la courbe de $f.$

 

$$\text{Durée 2 heures}$$