ENSAE (ETS) - Épreuve de Mathématique 2017
Le sujet comporte cinq exercices.
La réponse à chaque question doit être bien rédigé.
Tout résultat non justifié est considéré comme non valable.
Exercice 1 (9 points)
1. Résoudre dans C l'équation
(E) : z3−(7√3−3i)z2+8(6−i√3)z−32(√3−i)=0
sachant qu'elle admet trois solutions notées a, b et c vérifiant c=4a et ab=8 (1.5 point)
2. On considère la suite (Mn) de points d'affixes zn=2nei(−1)nπ6, n∈N∗
a) Vérifier que z1, z2 et z3 sont les solutions de (E). (1.5 point)
b) Placer les points M1, M2, M3 et M4 dans muni d'un repère orthonormé (O, →i, →j.) (1 point)
c) Calculer les longueurs M1M2 et M3M4 et montrer que ∀n∈N∗, MnMn+1=2n√3. (2 point)
d) Montrer que O, M2 et M4 sont alignés et que M2M3M4 est un triangle rectangle. (0.5+1 point)
e) On note Sn=M1M2+M2M3+…+MnMn+1.
Montrer que Sn=2√3(2n−1), ∀n∈N∗. (0.5 point)
Déterminer le plus petit entier n tel que Sn≥1000. (1 point)
Exercice 2 (7 point)
Un sac contient 12 jetons indiscernables au toucher numérotés comme suit : cinq jetons portent le numéro 0, un seul porte le numéro 1000, trois portent le numéro 2000, deux portent le numéro 5000, un seul porte le numéro 4000.
On tire au hasard un jeton du sac.
Le prix à payer pour jeter une partie est de 3000\.F CFA.
Le joueur reçoit, en francs CFA le montant indiqué sur le jeton tiré.
1. Quelle est la probabilité de recevoir plus que l'on a payé pour jouer ? (1 point)
2. Soit X la variable aléatoire représentant le gain (positif ou négatif) du joueur à l'issue d'une partie.
a) Déterminer l'ensemble des valeurs de X. (0.5 point)
b) Déterminer la loi de probabilité de X. (2.5 point)
3. Soit E(X) l'espérance mathématique X.
a) Calculer E(X) et interpréter sa valeur. (1 point)
b) Ce jeu est-il plus favorable à l'organisateur ou au joueur ?
Justifier. (1 point)
c) Déterminer le prix de la partie pour que le jeu soit équitable. (1 point)
Exercice 3 (7 point)
Soit (Un) la suite telle que : Un+1=12(Un+2Un)etU0=2.
1. Montrer que (Un) est bien définie et Un≥√2, ∀n∈N. (1 point)
Montrer que (Un) est convergente puis calculer sa limite. (1.5 point)
2. a) On pose f(x)=12(x+2x), ∀x≥√2.
Montrer à l'aide de l'intégralité des accroissements finis que |f(x)−f(y)|≤11|x−y|. (1 point)
b) En déduire que pour tout n∈N, on a |Un−√2|≤(12)n. (1 point)
c) A partir de quel entier n, Un est-elle une valeur approchée de √2 à 10−6 près ? (1 point)
3. a) Montrer que Un+1−√2≤12√2(Un−√2)2, ∀n∈N (0.5 point)
b) En déduire que si Un est une valeur approchée de √2 à 10−6 près alors Un+1 est une valeur approchée de √2 à 10−12 près (1 point)
Exercice 4 (7 points)
Soit In=∫10xnln(1+x)dx, ∀n∈N.
1. Calculer I0. (0.5 point)
2. a) Montrer que In≥0, ∀n∈N. (0.5 point)
b) Établir que la suite (In) est décroissante (0.5 point)
c) En déduire que (In) est convergente. (0.5 point)
3. a) Justifier l'inégalité : ∀n∈N, ∀x∈[0, 1], xn(1+x)≤xn (0.5 point)
b) En déduire que ∀n∈N, In≤1n+1. (0.5 point)
c) Calculer la limite de In. (0.5 point)
4. a) Par intégration par parties, montrer que In=ln2n+1−1n+1∫10xn+11+xdx(1 point)
b) Montrer que 0≤∫10xn+11+xdx≤1n+2.(1 point)
c) En déduire un encadrement de In puis limn→+∞(nIn). (1.5 point)
Exercice 5 (10 point)
On considère la fonction f définie par : f(x)=e1x√|x(x+2)|
1. Déterminer le domaine de définition Df de f puis étudier les limites de f aux bornes de Df. (2.5 point)
2. Justifier la continuité de f sur Df. (0.5 point)
3. Étudier la dérivabilité de f au point x0=−2.
Interpréter graphiquement le résultat obtenu. (1.5 point)
4. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
(On pourra calculer la dérivée de la fonction ↦lnf(x)). (2 points)
5. Montrer que la courbe Cf de f admet une asymptote oblique Δ1 en +∞ et une asymptote oblique Δ2 en −∞. (2 points)
6. Tracer Cf dans un repère orthonormé.
On admettra que Cf est au dessus de Δ1 et Δ2 au voisinage de ∞. (1.5 point)
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