ENSAE (ETS) - Épreuve de Mathématique 2017
Le sujet comporte cinq exercices.
La réponse à chaque question doit être bien rédigé.
Tout résultat non justifié est considéré comme non valable.
Exercice 1 (9 points)
1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation
$$(E)\ :\ z^{3}-(7\sqrt{3}-3\mathrm{i})z^{2}+8(6-\mathrm{i}\sqrt{3})z-32(\sqrt{3}-\mathrm{i})=0$$
sachant qu'elle admet trois solutions notées $a$, $b$ et $c$ vérifiant $c=4a$ et $ab=8$ (1.5 point)
2. On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ de points d'affixes $z_{n}=2^{n}\mathrm{e^{\mathrm{i}(-1)n\dfrac{\pi}{6}}}$, $n\in\mathbb{N^{\ast}}$
a) Vérifier que $z_{1}$, $z_{2}$ et $z_{3}$ sont les solutions de $(E).$ (1.5 point)
b) Placer les points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ et $M_{4}$ dans muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}.)$ (1 point)
c) Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{3}M_{4}$ et montrer que $\forall\,n\in\mathbb{N^{\ast}}$, $M_{n}M_{n+1}=2^{n}\sqrt{3}.$ (2 point)
d) Montrer que $O$, $M_{2}$ et $M_{4}$ sont alignés et que $M_{2}M_{3}M_{4}$ est un triangle rectangle. (0.5+1 point)
e) On note $S_{n}=M_{1}M_{2}+M_{2}M_{3}+\ldots+M_{n}M_{n+1}.$
Montrer que $S_{n}=2\sqrt{3}(2^{n}-1)\;,\ \forall\,n\in\mathbb{N^{\ast}}.$ (0.5 point)
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n}\geq 1000.$ (1 point)
Exercice 2 (7 point)
Un sac contient $12$ jetons indiscernables au toucher numérotés comme suit : cinq jetons portent le numéro $0$, un seul porte le numéro $1000$, trois portent le numéro $2000$, deux portent le numéro $5000$, un seul porte le numéro $4000.$
On tire au hasard un jeton du sac.
Le prix à payer pour jeter une partie est de $3000\.F\ CFA.$
Le joueur reçoit, en francs $CFA$ le montant indiqué sur le jeton tiré.
1. Quelle est la probabilité de recevoir plus que l'on a payé pour jouer ? (1 point)
2. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain (positif ou négatif) du joueur à l'issue d'une partie.
a) Déterminer l'ensemble des valeurs de $X.$ (0.5 point)
b) Déterminer la loi de probabilité de $X.$ (2.5 point)
3. Soit $E(X)$ l'espérance mathématique $X.$
a) Calculer $E(X)$ et interpréter sa valeur. (1 point)
b) Ce jeu est-il plus favorable à l'organisateur ou au joueur ?
Justifier. (1 point)
c) Déterminer le prix de la partie pour que le jeu soit équitable. (1 point)
Exercice 3 (7 point)
Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite telle que : $$U_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(U_{n}+\dfrac{2}{U_{n}}\right)\quad\text{et}\quad U_{0}=2.$$
1. Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est bien définie et $U_{n}\geq\sqrt{2}\;,\ \forall\,n\in\mathbb{N}.$ (1 point)
Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est convergente puis calculer sa limite. (1.5 point)
2. a) On pose $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)\;,\ \forall\,x\geq\sqrt{2}.$
Montrer à l'aide de l'intégralité des accroissements finis que $|f(x)-f(y)|\leq\dfrac{1}{1}|x-y|.$ (1 point)
b) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $\left|U_{n}-\sqrt{2}\right|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.$ (1 point)
c) A partir de quel entier $n$, $U_{n}$ est-elle une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-6}$ près ? (1 point)
3. a) Montrer que $U_{n+1}-\sqrt{2}\leq\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(U_{n}-\sqrt{2}\right)^{2}\;,\ \forall\,n\in\mathbb{N}$ (0.5 point)
b) En déduire que si $U_{n}$ est une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-6}$ près alors $U_{n+1}$ est une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-12}$ près (1 point)
Exercice 4 (7 points)
Soit $$I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\ln(1+x)\mathrm{d}x\;,\ \forall\,n\in\mathbb{N}.$$
1. Calculer $I_{0}.$ (0.5 point)
2. a) Montrer que $I_{n}\geq 0\;,\ \forall\,n\in\mathbb{N}.$ (0.5 point)
b) Établir que la suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante (0.5 point)
c) En déduire que $\left(I_{n}\right)$ est convergente. (0.5 point)
3. a) Justifier l'inégalité : $\forall\,n\in\mathbb{N}\;,\ \forall\,x\in[0\;,\ 1]\;,\ x^{n}(1+x)\leq x^{n}$ (0.5 point)
b) En déduire que $\forall\,n\in\mathbb{N}\;,\ I_{n}\leq\dfrac{1}{n+1}.$ (0.5 point)
c) Calculer la limite de $I_{n}.$ (0.5 point)
4. a) Par intégration par parties, montrer que $$I_{n}=\dfrac{\ln 2}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x\quad(1\text{ point})$$
b) Montrer que $$0\leq\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x\leq\dfrac{1}{n+2}.\quad(1\text{ point})$$
c) En déduire un encadrement de $I_{n}$ puis $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(n I_{n}\right).$ (1.5 point)
Exercice 5 (10 point)
On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}\sqrt{|x(x+2)|}$$
1. Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D_{f}}$ de $f$ puis étudier les limites de $f$ aux bornes de $\mathcal{D_{f}}.$ (2.5 point)
2. Justifier la continuité de $f$ sur $\mathcal{D_{f}}.$ (0.5 point)
3. Étudier la dérivabilité de $f$ au point $x_{0}=-2.$
Interpréter graphiquement le résultat obtenu. (1.5 point)
4. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.
$\left(\text{On pourra calculer la dérivée de la fonction }\mapsto\ln f(x)\right).$ (2 points)
5. Montrer que la courbe $\mathcal{C_{f}}$ de $f$ admet une asymptote oblique $\Delta_{1}$ en $+\infty$ et une asymptote oblique $\Delta_{2}$ en $-\infty.$ (2 points)
6. Tracer $\mathcal{C_{f}}$ dans un repère orthonormé.
On admettra que $\mathcal{C_{f}}$ est au dessus de $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ au voisinage de $\infty.$ (1.5 point)
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