ENSAE (ISE - Option Mathématiques) - Epreuve de Mathématiques I - 2019

 

Dans toute la composition, $\mathbb{R}$ désigne l'ensemble des nombres réels. Soit $d$ un entier égal à $1$ ou $2.$ On note $\mathcal{F}(\mathbb{R}^{d}\;,\ \mathbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions définie sur $\mathbb{R}^{d}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, et $C_{d}$ le sous-ensemble de $\mathcal{F}(\mathbb{R}^{d}\;,\ \mathbb{R})$ formé des fonctions continues.

 

Le but du problème est de chercher les fonctions $f\in C_{2}$ telles que :

$$\forall\,(x\;,\ y)\in\mathbb{R}^{2}\;,\ \forall\,z\in\mathbb{R}\quad f(x\;,\ y)=f(x+z\;,\ y+z)\;,\qquad (T)$$

et

$$\forall\,(x\;,\ y)\in\mathbb{R}^{2}\;,\ \forall\,z\in\mathbb{R}\quad f(x\;,\ y)+f(y\;,\ z)=f(x\;,\ z)\;,\qquad (A)$$

c'est-à-dire les fonctions continues invariantes par translation diagonale et additives au sens de $(A).$

1) Montrer que l'ensemble $\mathcal{T}_{2}$, constitué des fonctions $f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}^{d}\;,\ \mathbb{R})$ qui vérifient $(T)$, forme un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R}^{d}\;,\ \mathbb{R}).$

 

2) Soit $f\in\mathcal{T}_{2}.$ Montrer que la fonction $f$ vérifie

$$(x; y)\in\mathbb{R}^{2}\;,\quad f(x\;,\ x)=f(y\;,\ y)$$

3) Montrer que si $f\in\mathcal{T}_{2}$, la fonction $g\in\mathcal{F}(\mathbb{R}^{d}\;,\ \mathbb{R})$ définie par

$$g\ :\ \begin{array}{rcl}\mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ \\(x\;,\ y)&\longmapsto&\left\lbrace\begin{array}{rcl}|f(x\;,\ y)|&\text{si}&x<y\\|f(y\;,\ x)|&\text{si}&x\geq y\end{array}\right.\end{array}$$

est encore invariante par translation diagonale, c'est-à-dire $g\in\mathcal{T}_{2}.$

 

4) Montrer que l'application

$$\Phi\ :\ \begin{array}{rcl}\mathcal{T}_{2}&\longrightarrow&\mathcal{F}(\mathbb{R}\;,\ \mathbb{R})\\ \\f&\longmapsto&h\ :\ \begin{array}{rcl}\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\z&\longmapsto&f(0\;,\ z)\end{array}\end{array}$$

définit un morphisme d'espace vectoriel.

 

5) Calculer le noyau $\mathcal{K}$ et l'image $\mathcal{I}$ du morphisme $\Phi.$

 

6) Montrer que le morphisme $\Phi$ induit un isomorphisme linéaire du quotient $\mathcal{T}_{2}/\mathcal{K}$ sur $\mathcal{I}.$

 

Calculer l'inverse $\Psi$ de cet isomorphisme. Dans la définition de $\Psi$, on pourra identifier la fonction $f$ à son représentant dans $\mathcal{T}_{2}/\mathcal{K}$ sans perte de généralité.

 

7) Soit $a$ un nombre réel. Montrer que l'application

$$\Phi_{a}\ :\ \begin{array}{rcl}\mathcal{T}_{2}&\longrightarrow&\mathcal{F}(\mathbb{R}\;,\ \mathbb{R})\\ \\f&\longmapsto&h\ :\ \begin{array}{rcl}\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\z&\longmapsto&f(z\;,\ az)\end{array}\end{array}$$

définit un morphisme d'espace vectoriel quel que soit $a\in\mathbb{R}.$

 

8) Lorsque $a\neq 1$, précisez si ce morphisme est injectif ou surjectif.

 

9) Montrer qu'il existe un réel $a^{\ast}$ tel que $\text{Im}\Phi_{a^{\ast}}$ est l'ensemble des fonctions constantes.

 

10) Quel est le noyau de $\Phi_{a^{\ast}}\ ?$

11) Montrer que l'ensemble $\mathcal{A}_{2}$, constitué des fonctions $f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}^{2}\;,\ \mathbb{R})$ qui vérifient $(A)$, forme un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R}^{2}\;,\ \mathbb{R}).$

 

12) Soit $f\in\mathcal{A}_{2}.$ Montrer que la fonction $f$ vérifie

$$\forall\,x\in\mathbb{R}\;,\quad f(x\;,\ x)=0$$

13) On suppose que $f\in\mathcal{A}_{2}\cap C_{2}.$ Montrer que la suite

$$S_{N}(f)=\sum_{n=1}^{N}f\left(\dfrac{1}{n+1}\;,\ \dfrac{1}{n}\right)$$

converge quand $N\rightarrow +\infty.$ Calculer sa limite.

 

14) On suppose que $f$ est positive, montrer que la fonction $f$ est croissante par rapport à chacune de ces variables.

Soit $f\in C_{2}\cap\mathcal{T}_{2}\cap\mathcal{A}_{2}.$

 

15) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, on a

$$f\left(0\;,\ \dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}f(0\;,\ 1)$$

16) Montrer pour tout $m\in\mathbb{N}$, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, pour tout $x\in\mathbb{R}$ on a

$$f\left(x\;,\ x+\dfrac{m}{n}\right)=\dfrac{m}{n}f(0\;,\ 1)$$

17) Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $f(0\;,\ x)=xf(0\;,\ 1).$

 

18) Montrer que pour tout $(x\;,\ y)\in\mathbb{R}^{2}\;,\ f(x\;,\ y)=(y-x)f(0\;,\ 1).$

 

19) Montrer que pour toute fonction $g\in C_{1}$ et pour toute fonction $f\in C_{2}\cap\mathcal{T}_{2}\cap\mathcal{A}_{2}$, la suite suivante est convergente

$$S_{N}(g\;,\ f)=\sum_{k=0}^{N-1}g\left(\dfrac{k}{N}\right)f\left(\dfrac{k}{N}\;,\ \dfrac{k+1}{N}\right)$$

20) Montrer que pour toute fonction $g\in C_{1}$, on a 

$$S_{N}(g\;,\ f)\rightarrow f(0\;,\ 1)\int_{0}^{1}g(x)\mathrm{d}x$$

quand $N\rightarrow +\infty.$

 

21) Pour toute fonction $g$ dérivable telle que $g'\in C_{1}$ on définit la quantité suivante pour tout $x\in[0\;,\ 1]$

$$D_{N}(g)(x)=\sum_{k=0}^{2^{N}-1}\left(g((k+1)2^{-N})-g(k2^{-N})\right)2^{N}\mathbb{I}_{[k2^{-N}\;,\ (k+1)2^{-N}[}(x)$$

Montrer que la fonction $D_{N}(g)$ est bornée sur $[0\;,\ 1]$ uniformément par rapport à $N\mathbb{N}^{*}.$

 

22) Montrer que pour tout $x\in[0\;,\ 1[$, on a

$$D_{N}(g)\rightarrow g'(x)$$

23) Pour toute fonction $g$ dérivable telle que $g'\in C_{1}$ et pour toute fonction $f\in C_{2}\cap\mathcal{T}_{2}\cap\mathcal{A}_{2}$ non-nulle, calculer la limite de

$$I_{N}(g\;,\ f)=\sum_{k=0}^{2^{N}-1}g'\left(\dfrac{k}{2^{N}}\right)f\left(\dfrac{k}{2^{N}}\;,\ \dfrac{k+1}{2^{N}}\right)/f(0\;,\ 1)$$

en fonction de $f\ $ et $\ g.$

 

24) Montrer que pour tout $N\mathbb{N}^{*}$ la quantité

$$R_{N}(g\;,\ f)=\int_{0}^{1}D_{N}(g)(x)\mathrm{d}x-I_{N}(g\;,\ f)$$

converge vers $0$ quand $N\rightarrow +\infty.$

L'objet du problème est l'étude des commutateurs de deux éléments dans les espaces vectoriels.

 

Les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

 

Dans tout le problème, on considère un entier naturel $n$ non nul et on note $E$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^{n}.$ On note $0_{E}$ le vecteur nul de $E$ et $\mathrm{id}_{E}$ l'endomorphisme identité de $E.$

 

Soient $f\ $ et $\ g$ deux endomorphismes de $E$, avec la notation $\circ$ pour définir la composition, on pose

$$f^{0}=\mathrm{id}_{E}\;,\ f^{1}=1\;,\ f^{2}=f\circ f\;,\ f^{3}=f\circ f\circ f\;,\ \text{etc}$$

et on définit $[f\;,\ g]$ le commutateur de $f\ $ et $\ g$ par la quantité

$$[f\;,\ g]=f\circ g-g\circ f$$

Pour $x=(x_{1}\;,\ldots\;,\ x_{n})$ un élément de $E$ noté en ligne, on note $x^{T}$ sa transposée qui forme donc un vecteur colonne. Cette notation s'applique également à tout autre élément de $E$ apparaissant dans la suite de l'énoncé. On note $\mathbb{R}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier naturel $k$, on note $\mathbb{R}_{k}[X]$ le sous-espace vectoriel formé par les éléments de $\mathbb{R}[X]$ qui sont de degré inférieur ou égal à $k.$

 

Si $f$ est un endomorphisme de $E$ et si

$$P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$$

avec $P$ un élément de $\mathbb{R}_{n}[X]$, on rappelle qu'on note $P(f)$ l'endomorphisme de $E$ égal à

$$P(f)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}f^{k}$$