ENSAE (ITS) - Épreuve de Mathématique 2016

Le sujet comporte vingt questions indépendantes, chacune notée sur deux points.

 

La réponse à chaque question doit être rédigé.

 

Tout résultat non justifié est considéré comme non valable.

 

$1-$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation définie par :

$$\dfrac{2x^{3}-x^{2}-2x+1}{(x^{4}+5x^{2}-6)(x^{5}-4x)}\leq 0.$$

 

$2-$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation 

$$\sqrt{\dfrac{2x^{2}-3x+1}{x^{3}-7x^{2}+14x-8}}\geq 0.$$

 

$3-$ Étudier les limites éventuelles en $x_{0}$ de la fonction $f$ dans les cas suivants :

 

a) $f(x)=\dfrac{2-\sqrt{x^{2}-4x+8}}{x-2}\sin\left(\dfrac{1}{x-2}\right)\;,\quad x_{0}=2$

 

b) $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x^{2}-7x+1}-x}{\sqrt{x^{2}+x+1}-2x}\;,\quad x_{0}=\infty$

 

c) $f(x)=\dfrac{\tan 6x}{1-2\sin x}\;,\quad x_{0}=\dfrac{\pi}{6}.$

 

$4-$ Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ la courbe $\mathcal{C}$ définie par l'équation $y=f(x)$ admet-elle les asymptotes indiquées.

 

$$f(x)=\dfrac{mx\left|x^{2}-1\right|-2x|x|+1}{x^{2}|x-3|-x^{3}}\;,\quad\text{quatres asymptotes, d'équations :}$$

 

$x=0$ ; $x=\dfrac{3}{2}$ ; $y=\dfrac{-1}{2}$ ; $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}.$

 

$5-$ Prouver qu'il existe un entier $n_{0}$ tel que si $n\geq n_{0}$, alors $\dfrac{1}{n^{3}}<\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{(n-1)^{2}}.$

 

En déduire que la suite $\left(U_{n}\right)$, définie par : $$U_{n}=1+\dfrac{1}{2^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{3}}\;,$$ est convergence et que $1\leq U_{n}\leq 1.25.$

 

$6-$ a) Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positif.

 

Prouver que $$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\leq\dfrac{a+b}{2}.$$

 

b) Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels strictement positifs.

 

Déduire de a) que $$(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8abc.$$

 

$7-$ Soit $$P(x)=\dfrac{a^{2}(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^{2}(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^{2(x-b)(x-a)}}{(c-a)(c-b)}.$$

 

Calculer $P(a)$, $P(b)$ et $P(c).$

 

En déduire $P(x)=x^{2}\;,\ \forall\,x\in\mathbb{R}.$ 

 

$8-$ Soit $(x)=x^{3}+3x^{2}-1$ et $h(x)=f(a+y)-\beta.$

 

Déterminer $\alpha$ et $\beta$ de sorte que la courbe représentative de $h$ admette un centre de symétrie.

 

$9-$ Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

 

$f(x)=\dfrac{2x^{3}-3x+\sqrt{x}-1}{x}$ ;

 

$u(x)=\dfrac{(x+1)^{2}(x+2)^{2}}{x^{2}+3x-4}$ ;

 

$g(x)=\left(\dfrac{x-1}{x-2}\right)^{2}$ ;

 

$h(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}.$

 

$10-$ Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$

 

Soit $f_{1}$ et $f_{n}$ les fonctions définies pour tout $\mathbb{R}\setminus\{0.1\}$ par :

$$f_{1}(x)=1-\dfrac{1}{x}\quad\text{et}\quad f_{n}(x)=f_{1}\left(f_{n-1}(x)\right).$$

 

Calculer $f_{2016}(2016)$

 

$11-$ Dans chaque cas démontrer qu'il existe un couple de réels $(a\;,\ b)$ tel que la courbe de $f$ ait pour asymptote oblique la droite d'équation $y=ax+b$ au voisinage de $\alpha.$

 

a) $f(x)=-\dfrac{1}{3}\left[4(x+1)+5\sqrt{x^{2}+2x-2}\right]$ pour $\alpha=+\infty.$

 

b) $f(x)=\dfrac{1}{2}\left[\sqrt{3x}-4+\sqrt{3x^{2}+4}\right]$ pour $\alpha=-\infty.$

 

$12-$ Soit $f$ la fonction définie par $$f(x)=\dfrac{x+2)^{2}-|x+2|}{x-1}$$

 

Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur son ensemble de définition.

 

$13-$ Calculer en fonction de $n$

$$x_{n}=\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$$

 

$14-$ On considère la fonction $$\begin{array}{lcl} f\ :\ [1\;,\ +\infty[ &\rightarrow& [2\;,\ +\infty[\\\\ x &\rightarrow&\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}} \end{array} $$

 

a) Montrer que $f$ est une bijection.

 

b) Déterminer l'expression de $f^{-1}$ bijection réciproque de $f.$

 

$15-$ On considère la fonction $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}.$

 

Déterminer, s'il en existe, les points de la courbe représentative de $f$ où la tangente admet $m$ pour coefficient directeur, pour $m={-2\;,\ -1\;,\ 0\;,\ 2}.$ 

 

$16-$ Soit $S$ l'ensemble des points de l'espace, rapporté à un repère cartésien, défini par $$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=0.$$

 

a) Montrer que $S$ contient le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+y+z=0.$

 

b) Montrer que $S$ est la réunion de $\mathcal{P}$ et d'une droite $\mathcal{D}$ dont on donnera une équation.

 

$17-$ Soit $f$ la fonction définie sur un segment $[a\;,\ b]$ par $f(x)=x^{2}-3x+2.$

 

Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ pour que la fonction $f$ admette une fonction réciproque et définir alors $f^{-1}$