ENSAE (ITS) - Épreuve de Mathématique 2016

Test de présélection Voie A

Le sujet comporte vingt questions indépendantes, chacune notée sur deux points.
 
La réponse à chaque question doit être rédigé.
 
Tout résultat non justifié est considéré comme non valable.
 
1 Résoudre dans R l'inéquation définie par :
2x3x22x+1(x4+5x26)(x54x)0.
 
2 Résoudre dans R l'inéquation 
2x23x+1x37x2+14x80.
 
3 Étudier les limites éventuelles en x0 de la fonction f dans les cas suivants :
 
a) f(x)=2x24x+8x2sin(1x2),x0=2
 
b) f(x)=3x27x+1xx2+x+12x,x0=
 
c) f(x)=tan6x12sinx,x0=π6.
 
4 Pour quelle(s) valeur(s) de m la courbe C définie par l'équation y=f(x) admet-elle les asymptotes indiquées.
 
f(x)=mx|x21|2x|x|+1x2|x3|x3,quatres asymptotes, d'équations :
 
x=0 ; x=32 ; y=12 ; y=13x+23.
 
5 Prouver qu'il existe un entier n0 tel que si nn0, alors 1n3<1n2+1(n1)2.
 
En déduire que la suite (Un), définie par : Un=1+123+133++1n3, est convergence et que 1Un1.25.
 
6 a) Soient a et b deux réels strictement positif.
 
Prouver que 21a+1baba+b2.
 
b) Soient a, b et c trois réels strictement positifs.
 
Déduire de a) que (a+b)(b+c)(a+c)8abc.
 
7 Soit P(x)=a2(xb)(xc)(ab)(ac)+b2(xc)(xa)(bc)(ba)+c2(xb)(xa)(ca)(cb).
 
Calculer P(a), P(b) et P(c).
 
En déduire P(x)=x2, xR. 
 
8 Soit (x)=x3+3x21 et h(x)=f(a+y)β.
 
Déterminer α et β de sorte que la courbe représentative de h admette un centre de symétrie.
 
9 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
 
f(x)=2x33x+x1x ;
 
u(x)=(x+1)2(x+2)2x2+3x4 ;
 
g(x)=(x1x2)2 ;
 
h(x)=x+1x1.
 
10 Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
 
Soit f1 et fn les fonctions définies pour tout R{0.1} par :
f1(x)=11xetfn(x)=f1(fn1(x)).
 
Calculer f2016(2016)
 
11 Dans chaque cas démontrer qu'il existe un couple de réels (a, b) tel que la courbe de f ait pour asymptote oblique la droite d'équation y=ax+b au voisinage de α.
 
a) f(x)=13[4(x+1)+5x2+2x2] pour α=+.
 
b) f(x)=12[3x4+3x2+4] pour α=.
 
12 Soit f la fonction définie par f(x)=x+2)2|x+2|x1
 
Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
 
13 Calculer en fonction de n
xn=(1122)(1132)(1142)(11n2)
 
14 On considère la fonction f : [1, +[[2, +[xx+1x
 
a) Montrer que f est une bijection.
 
b) Déterminer l'expression de f1 bijection réciproque de f.
 
15 On considère la fonction f(x)=x2+1x.
 
Déterminer, s'il en existe, les points de la courbe représentative de f où la tangente admet m pour coefficient directeur, pour m=2, 1, 0, 2. 
 
16 Soit S l'ensemble des points de l'espace, rapporté à un repère cartésien, défini par x3+y3+z33xyz=0.
 
a) Montrer que S contient le plan P d'équation x+y+z=0.
 
b) Montrer que S est la réunion de P et d'une droite D dont on donnera une équation.
 
17 Soit f la fonction définie sur un segment [a, b] par f(x)=x23x+2.
 
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que la fonction f admette une fonction réciproque et définir alors f1
 
18 Soit Sn=x+x(1x2)+x(1x2)2++x(1x2)n.
 
On pose f(x)=limn+Sn
 
Préciser l'ensemble de définition de la fonction f de R vers R ainsi définie puis simplifier l'expression de f(x).
 
19 Discuter suivant les valeurs de nZ, le nombre de points d'inflexion de la courbe C : y=(x1)2n(x+2)n.
 
20 Soit P(x)=anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0.
 
Montrer que 1 est racine B(x)=P(x)S, avec S la somme des coefficients du polynôme P.
 
Soit l'entier N s'écrivant sous la forme N=anan1a2a1a0.
 
Déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.
 
 

Ajouter un commentaire