ENSAE (ITS) - Épreuve de Mathématique 2016
Test de présélection Voie A
Le sujet comporte vingt questions indépendantes, chacune notée sur deux points.
La réponse à chaque question doit être rédigé.
Tout résultat non justifié est considéré comme non valable.
1− Résoudre dans R l'inéquation définie par :
2x3−x2−2x+1(x4+5x2−6)(x5−4x)≤0.
2− Résoudre dans R l'inéquation
√2x2−3x+1x3−7x2+14x−8≥0.
3− Étudier les limites éventuelles en x0 de la fonction f dans les cas suivants :
a) f(x)=2−√x2−4x+8x−2sin(1x−2),x0=2
b) f(x)=√3x2−7x+1−x√x2+x+1−2x,x0=∞
c) f(x)=tan6x1−2sinx,x0=π6.
4− Pour quelle(s) valeur(s) de m la courbe C définie par l'équation y=f(x) admet-elle les asymptotes indiquées.
f(x)=mx|x2−1|−2x|x|+1x2|x−3|−x3,quatres asymptotes, d'équations :
x=0 ; x=32 ; y=−12 ; y=−13x+23.
5− Prouver qu'il existe un entier n0 tel que si n≥n0, alors 1n3<1n2+1(n−1)2.
En déduire que la suite (Un), définie par : Un=1+123+133+…+1n3, est convergence et que 1≤Un≤1.25.
6− a) Soient a et b deux réels strictement positif.
Prouver que 21a+1b≤√ab≤a+b2.
b) Soient a, b et c trois réels strictement positifs.
Déduire de a) que (a+b)(b+c)(a+c)≥8abc.
7− Soit P(x)=a2(x−b)(x−c)(a−b)(a−c)+b2(x−c)(x−a)(b−c)(b−a)+c2(x−b)(x−a)(c−a)(c−b).
Calculer P(a), P(b) et P(c).
En déduire P(x)=x2, ∀x∈R.
8− Soit (x)=x3+3x2−1 et h(x)=f(a+y)−β.
Déterminer α et β de sorte que la courbe représentative de h admette un centre de symétrie.
9− Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
f(x)=2x3−3x+√x−1x ;
u(x)=(x+1)2(x+2)2x2+3x−4 ;
g(x)=(x−1x−2)2 ;
h(x)=√x+1x−1.
10− Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
Soit f1 et fn les fonctions définies pour tout R∖{0.1} par :
f1(x)=1−1xetfn(x)=f1(fn−1(x)).
Calculer f2016(2016)
11− Dans chaque cas démontrer qu'il existe un couple de réels (a, b) tel que la courbe de f ait pour asymptote oblique la droite d'équation y=ax+b au voisinage de α.
a) f(x)=−13[4(x+1)+5√x2+2x−2] pour α=+∞.
b) f(x)=12[√3x−4+√3x2+4] pour α=−∞.
12− Soit f la fonction définie par f(x)=x+2)2−|x+2|x−1
Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
13− Calculer en fonction de n
xn=(1−122)(1−132)(1−142)…(1−1n2)
14− On considère la fonction f : [1, +∞[→[2, +∞[x→√x+1√x
a) Montrer que f est une bijection.
b) Déterminer l'expression de f−1 bijection réciproque de f.
15− On considère la fonction f(x)=x2+1x.
Déterminer, s'il en existe, les points de la courbe représentative de f où la tangente admet m pour coefficient directeur, pour m=−2, −1, 0, 2.
16− Soit S l'ensemble des points de l'espace, rapporté à un repère cartésien, défini par x3+y3+z3−3xyz=0.
a) Montrer que S contient le plan P d'équation x+y+z=0.
b) Montrer que S est la réunion de P et d'une droite D dont on donnera une équation.
17− Soit f la fonction définie sur un segment [a, b] par f(x)=x2−3x+2.
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que la fonction f admette une fonction réciproque et définir alors f−1
18− Soit Sn=x+x(1−x2)+x(1−x2)2+…+x(1−x2)n.
On pose f(x)=limn→+∞Sn
Préciser l'ensemble de définition de la fonction f de R vers R ainsi définie puis simplifier l'expression de f(x).
19− Discuter suivant les valeurs de n∈Z∗, le nombre de points d'inflexion de la courbe C : y=(x−1)2n(x+2)−n.
20− Soit P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0.
Montrer que 1 est racine B(x)=P(x)−S, avec S la somme des coefficients du polynôme P.
Soit l'entier N s'écrivant sous la forme N=anan−1…a2a1a0.
Déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.
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