ENSAE (ITS) - Épreuve de Mathématique 2019
Test de présélection Voie A
Exercice 1 (3 points)
Soit $x$ un réel donné ; on appelle $E(x)$ le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x.$
On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ sur l'intervalle $[-1\;,\ +2]$ par $f(x)=E(x)\sin\pi x.$
1. Montrer que est continue sur $[-1\;,\ 2]$ et étudier sa dérivabilité en $0$ et en $1.$ (0.5 pt-0.5 pt- 0.5 pt)
2. Montrer que l'étude de $f$ peut se restreindre à $\left[\dfrac{1}{2}\;,\ 2\right]$ et établir le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}\;,\ 2\right].$ (0.5 pt - 0.5 pt)
3. Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé sur $[-1\;,\ +2].$ (0.5 point)
Exercice 2 (2.5 points)
1. $ABC$ est un triangle rectangle.
Son plus coté a pour longueur $1.$
Les longueurs des trois cotés sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Quelle est la longueur des deux autres cotés ? (0.75 points)
2. Montrer que, quels soient les réels $a$ et $b$ strictement positifs et l'entier naturel $n$ supérieur à $2$, on a $b^{n}>a^{n}$ si, et seulement, $b>a.$ (0.5 point)
3. Montrer que, quel que soit le réel a strictement positif et l'entier naturel $n$ supérieur à $2$ on a $b^{n}>a^{n}$ si, et seulement, $b>a.$ (0.5 point)
3. Montrer que, quel que soit le réel a strictement positif et l'entier naturel $n$ supérieur à $2$, on a :$$(1+a)^{n}>1+na.\quad(0.5\text{ point})$$
4. $\left(U_{n}\right)$ est une suite croissante .
$\left(V_{n}\right)$ est la suite définie par $v_{n}=\dfrac{1}{n}\left(u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\right)$ pour tout $n\geq 1.$
Déterminer que $\left(V_{n}\right)$ est croissante. (0.75 point)
Exercice 3 (2 points)
Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=x|x|$
1. Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}.$ (1 point)
2. Déterminer l'application réciproque, $f^{-1}.$ (0.5 point)
3. Construire, dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de $f$ et de $f^{-1}.$ (0.5 point)
Exercice 4 (3 points)
1. Mettre sous la forme d'un produit de deux tangentes l'expression : $\dfrac{\cos 2x-\cos 4x}{\cos 2x+\cos 4x}$ (1 point)
2. Soit $h$ un réel distinct de $2k\pi\;,\ (k\in\mathbb{Z}).$
On note $S_{n}=\sin h+\sin 2h+\ldots+\sin nh$
Démontrer la relation $$S_{n}=\dfrac{\sin n\dfrac{h}{2}\sin(n+1)^{\dfrac{h}{2}}}{\sin\dfrac{h}{2}}\;,\quad\text{pour tout }n\in\mathbb{N}.\quad(2\text{ point})$$
Exercice 5 (1 point)
Déterminer les limites suivantes :
1. $\lim\limits_{0}\dfrac{x\sin x}{1-\cos x}$ (0.5 point)
2. $\lim\limits_{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sqrt{1-\cos x}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}}{x-\dfrac{\pi}{3}}$ (0.5 point)
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