EPT - Épreuve de Mathématiques - 2012

 

1) Calculer la limite $\ell$ suivante : $\ell=\lim\limits_{x\to +\infty}x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$

 

a) $\ell=+\infty\quad$ b) $\ell=0\quad$ c) $\ell=1\quad$ d) $\ell=2$

 

2) Calculer la limite $\ell$ suivante : $\ell=\lim\limits_{x\to \pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}$

 

a) $\ell=\pi\quad$ b) $\ell=0\quad$ c) $\ell=-1\quad$ d) $\ell=2$

 

3) Calculer la limite $\ell$ suivante : $\ell=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}{h}$

 

a) $\ell=\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{x^{2}}\quad$ b) $\ell=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\quad$ c) $\ell=\dfrac{1}{3}\sqrt{x^{3}}\quad$ d) $\ell=3\sqrt{x}$

 

4) La suite $u_{n}$ définie par : $u_{0}=5\;;\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$

 

a) est constante

 

b) est divergente

 

c) est croissante

 

d) est décroissante

 

5) De combien varie, approximativement, le côté d'un carré si son aire passe de $9\,m^{2}\ $ à $\ 9.1\,m^{2}$

 

a) $0.21\,m\quad$ b) $0.12\,m\quad$ c) $0.016\,m\quad$ d) $0.025\,m$

 

6) Soit l'équation $x^{3}-x+1=0$

 

a) Elle n'admet pas de racines dans $]1\;,\ 2[$

 

b) Elle est croissante sur $\mathbb{R}$

 

c) Elle admet une racine réelle dans $]1\;,\ 2[$

 

d) Elle est décroissante sur $\mathbb{R}$

 

7) Dans $\mathbb{R}$, l'équation $\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}$ a pour solution :

 

a) $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}\quad$ b) $x=\dfrac{-2\pi}{3}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}$

 

c) $x=\dfrac{5\pi}{3}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}\quad$ d) $x=\dfrac{-\pi}{6}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}$

 

8) Si $1\;,\ \mathrm{j}\;,\ \mathrm{j}^{2}$ sont les racines de l'unité, alors :

 

a) $1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}=-1\quad$ b) $1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}=1$

 

c) $1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}=0\quad$ d) $1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}=3$

 

9) Évaluer l'intégrale :

$$I=\int\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

a) $I=4x\ln x-\sqrt{x}+c\quad$ b) $I=2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}+c$

 

c) $I=2x\ln\sqrt{x}-4x+c\quad$ d) $I=2\sqrt{x}-x\ln x+c$

 

10) Évaluer l'intégrale :

$$I=\int\dfrac{1}{1+\sin x+\cos x}\mathrm{d}x$$

a) $I=\ln\left|x+\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+c\quad$ b) $I=\ln\left|x+\sin x\right|+c$

 

c) $I=\ln\left|1+\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+c\quad$ d) $I=1+\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)+c$

 

11) On pose

$$I=\int_{3}^{5}\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}\mathrm{d}x$$

a) $I=\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)\quad$ b) $I=\ln\left(\dfrac{2}{3}\right)$

 

c) $I=\dfrac{3}{2}\quad$ d) $I=\dfrac{2}{3}$

 

12) On pose

$$I=\int_{0}^{3}\dfrac{1}{(x-1)(x-2)(x+2)}\mathrm{d}x$$

a) $I=\ln\left(\dfrac{5^{\tfrac{1}{3}}}{2^{\tfrac{1}{3}}}\right)\quad$ b) $I=\ln\left(\dfrac{5^{2}}{2^{3}}\right)$

 

c) $I=\ln\left(\dfrac{5^{\tfrac{1}{12}}}{2^{\tfrac{2}{3}}}\right)\quad$ d) $I=\ln\left(\dfrac{5}{2^{\tfrac{2}{3}}}\right)$

 

13) Soit

$$A=\int_{0}^{1}x^{2}\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x$$

a) $A=\dfrac{1}{2}\quad$ b) $A=\mathrm{e}\quad$ c) $A=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}\quad$ d) $A=\mathrm{e}-2$

 

14) On pose

$$B=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{ax}\cos(bx)\mathrm{d}x$$

où, $a\ $ et $\ b$ sont des constantes réelles.

 

a) $B=\dfrac{\mathrm{e}^{a}(b\sin b+a\cos b)-a}{a^{2}+b^{2}}\quad$ b) $B=\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{a^{2}+b^{2}}$

 

c) $B=\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}\quad$ d) $B=\dfrac{a}{a^{2}+b^{2}}$

 

15) La fonction $f(x)=x^{3}+3x^{2}-x-3$ a pour racines $-1\ $ et $\ 1.$ La racine $x_{0}$ de la dérivée $f'(x)$ dont il est question dans le théorème de Rolle est :

 

a) $x_{0}=-1-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\quad$ b) $x_{0}=-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

 

c) $x_{0}=-\dfrac{1}{2}\quad$ d) $x_{0}=\dfrac{1}{2}\quad$

 

16) On pose $\ell=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{x^{2}}-1}{\cos x-1}$

 

a) $\ell=1\quad$ b) $\ell=2\quad$ c) $\ell=-2\quad$ d) $\ell=-\dfrac{1}{2}$

 

17) On pose $m=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x^{n}-1}$

 

a) $m=\dfrac{1}{2}\quad$ b) $m=\dfrac{1}{n}\quad$ c) $m=0\quad$ d) $m=1$

 

18) $S=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}$

 

a) $S=\dfrac{1}{2}\quad$ b) $S=2\quad$ c) $S=0\quad$ d) $S=1$

 

19) La différentielle $\mathrm{d}y$ et l'accroissement $\Delta y$ pour la fonction $y=2x^{2}-x$ avec $x=1\ $ et $\ \Delta x=0.01$ est :

 

a) $\mathrm{d}y=0.3\ $ et $\ \Delta y=0.031\quad$ b) $\mathrm{d}y=0.3\ $ et $\ \Delta y=0.032$

 

c) $\mathrm{d}y=0.034\ $ et $\ \Delta y=0.024\quad$ d) $\mathrm{d}y=0.2\ $ et $\ \Delta y=0.0203$

 

20) On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotés de $1\ $ à $\ 6.$ Quelle est la probabilité $p$ d'obtenir $4$ fois la face numérotée $1$ au bout de $10$ lancers du dé.

 

a) $p=C_{10}^{3}\left(\dfrac{2}{6}\right)^{3}\left(\dfrac{4}{6}\right)^{7}\quad$ b) $p=C_{10}^{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{6}$

 

c) $p=C_{10}^{4}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{4}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{6}\quad$ d) $p=\left(\dfrac{1}{6}\right)^{4}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{6}$

 

 

$$\text{Durée 45 minutes}$$