ESP - Epreuve de Mathématiques - 2014

 

Soit

$$A_{n}=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^{n}(x)\mathrm{d}x\quad\text{ si }\; n\in\mathbb{N}$$

1) Montrer que $(A_{n})_{n}$ est positive décroissante.

 

2) Montrer que $A_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}A_{n}.$ Expliciter $A_{n}$ et en déduire

$$\int_{-1}^{1}(x^{2}-1)^{n}\mathrm{d}x$$

3) Montrer que $A_{n}\backsim A_{n+1}$

 

4) A l'aide $(n+1)A_{n}A_{n+1}$ montrer que

$$A_{n}\backsim\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$$

5) En déduire que

$$\dfrac{1\ldots3\ldots(2n+1)}{2\ldots4\ldots(2n)}\backsim 2\left(\sqrt{\dfrac{n}{\pi}}\right)$$

 

1) Calculer

$$\int_{-R}^{R}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\mathrm{d}x$$

et en déduire l'aire d'un disque de rayon $R.$

 

2) Calculer la limite de la suite

$$u_{n}=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\dfrac{k^{2}}{n^{2}}\right)^{\tfrac{1}{n}}$$

3) Résoudre l'EDP

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}-\dfrac{\delta f}{\delta y}=x+3y$$

en utilisant le changement de variables

$$s=x+y\quad\text{et}\quad t=x+2y$$

 

Soit $P$ un polynôme de degré $3$ à coefficients réels. Montrer que la courbe d'équation $P(x)=P(y)$ dans un certain repère orthonormé, est en général la réunion d'une droite et d'une ellipse d'excentricité fixe.

 

Soit

$$T_{n}(x)=\cos(n\arccos(x))\quad\text{pour }\;x\in[-1\;,\ 1]$$

1) a) Montrer que

$$\text{pour tout }\ \theta\in[0\;,\ \pi]\;,\ T_{n}(\cos(\theta))=\cos(n\pi)$$

Indication : exprimer $\cos((n+2)\theta)\ $ et $\ \cos(n\theta)$ en fonction de $\cos((n+1)\theta)$

 

b) Calculer $T_{0}\ $ et $\ T_{1}$

 

c) Montrer la relation de récurrence

$$T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)\quad\text{pour tout }\ n\geq 0$$

d) En déduire que $T_{n}$ est une fonction polynômiale de degré $n.$

 

Soit $P(X)=\lambda(X-a_{1})\ldots\ldots(X-a_{n})$ un polynôme où les $a_{k}$ sont deux à deux distincts et $\lambda\neq 0.$

 

Montrer que

$$\dfrac{1}{P(X)}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\tfrac{1}{P'(a_{k})}}{X-a_{k}}$$

(attention le rapport est $\dfrac{1}{P'(a_{k})}$ sur $(X-a_{k}))$

 

Décomposer $\dfrac{1}{T_{n}}$ en éléments simples.

 

 

$$\text{Durée 4 heures}$$