ESP - Epreuve de Mathématiques - 2014

 

Soit

$$A_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^n(x)\mathrm{d}x\text{ si }n\in \mathbb{N}$$

1) Montrer que $(A_{n})_{n}$ est positive décroissante.

 

2) Montrer que $A_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}A_{n}.$ Expliciter $A_{n}$ et en déduire

$${\int }_{-1}^1(x^2-1{)}^n\mathrm{d}x$$

3) Montrer que $A_{n}\backsim A_{n+1}$

 

4) A l'aide $(n+1)A_{n}A_{n+1}$ montrer que

$$A_n\backsim \sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}}$$

5) En déduire que

$${\displaystyle \frac{1\dots 3\dots (2n+1)}{2\dots 4\dots (2n)}}\backsim 2\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{n}{\pi }}}\right)$$

 

1) Calculer

$${\int }_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\mathrm{d}x$$

et en déduire l'aire d'un disque de rayon $R.$

 

2) Calculer la limite de la suite

$$u_n=\prod _{k=1}^n{(1+{\displaystyle \frac{k^2}{n^2}})}^{\frac{1}{n}}$$

3) Résoudre l'EDP

$${\displaystyle \frac{\delta f}{\delta x}}-{\displaystyle \frac{\delta f}{\delta y}}=x+3y$$

en utilisant le changement de variables

$$s=x+y\text{et}t=x+2y$$

 

Soit $P$ un polynôme de degré $3$ à coefficients réels. Montrer que la courbe d'équation $P(x)=P(y)$ dans un certain repère orthonormé, est en général la réunion d'une droite et d'une ellipse d'excentricité fixe.

 

Soit

$$T_n(x)=\cos (n\arccos (x))\text{pour }x\in [-1,1]$$

1) a) Montrer que

$$\text{pour tout }\theta \in [0,\pi ],T_n(\cos (\theta ))=\cos (n\pi )$$

Indication : exprimer $\cos((n+2)\theta)\ $ et $\ \cos(n\theta)$ en fonction de $\cos((n+1)\theta)$

 

b) Calculer $T_{0}\ $ et $\ T_{1}$

 

c) Montrer la relation de récurrence

$$T_{n+2}(x)=2x{T}_{n+1}(x)-T_n(x)\text{pour tout }n\ge 0$$

d) En déduire que $T_{n}$ est une fonction polynômiale de degré $n.$

 

Soit $P(X)=\lambda(X-a_{1})\ldots\ldots(X-a_{n})$ un polynôme où les $a_{k}$ sont deux à deux distincts et $\lambda\neq 0.$

 

Montrer que

$${\displaystyle \frac{1}{P(X)}}=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{\frac{1}{P^{\prime }(a_k)}}{X-a_k}}$$

(attention le rapport est $\dfrac{1}{P'(a_{k})}$ sur $(X-a_{k}))$

 

Décomposer $\dfrac{1}{T_{n}}$ en éléments simples.

 

 

$$\text{Durée 4 heures}$$